Найдите частное решение дифференциального уравнения операторным методом

Перейдем к изображениям:
yt↔Yp
y't↔p∙Yp-y0=p∙Yp-0=p∙Yp
y''t↔p2∙Yp-p∙y0-y'0=p2∙Yp-p∙0-0=p2∙Yp-0-0=p2∙Yp
3↔3p
Тогда
p2∙Yp+4∙p∙Yp+5∙Yp=3p, Yp∙p2+4∙p+5=3p, Yp=3p∙p2+4∙p+5
Возвращаемся к оригиналу . Найдем корни уравнения p∙p2+4∙p+5=0
p=0p2+4∙p+5=0⟹p1=0p2,3=-2±i
yt=3∙ep∙tp2+4∙p+5p=0+3∙Reep∙tp∙p+2-ip=-2-i+3∙Reep∙tp∙p+2+ip=-2+i=3∙e0∙t02+4∙0+5+3∙Ree-2∙t-2-i∙-2-i+2-i+3∙Ree-2∙t-2+i∙-2+i+2+i=3∙e00+0+5+3∙Ree-2∙t-2-i∙-2∙i3∙Re+e-2∙t-2+i∙2∙i=3∙15+3∙Ree-2∙t4∙i-2+3∙Ree-2∙t-4∙i-2=35+32∙Ree-2∙t2∙i-1-32∙Ree-2∙t2∙i+1=35+32∙Recost-i∙sint2∙i-1-Recost-i∙sint2∙i+1=35+32∙-25∙e-2t∙cost-45∙e-2t∙sint=35-35∙e-2t∙cost-65∙e-2t∙sint
Ответ: yt=35-35∙e-2t∙cost-65∙e-2t∙sint