Найдем корни уравнения 0 1x*x-x*ln(x) = 0 ε = 0
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Найдем корни уравнения: 0.1x*x-x*ln(x) = 0 ε = 0.001 Используем для этого Метод итераций. Одним из наиболее эффективных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0. Заменим его равносильным уравнением x=φ(x). Выберем начальное приближение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения. Тогда получим некоторое число x1=φ(x0). Подставляя теперь в правую часть вместо x0 число x1 получим число x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел xn=φ(xn-1) Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел ξ = lim(xn), то переходя к пределу в равенстве и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем lim(xn) = φ(lim(xn-1)), n → ∞ или ξ=φ(ξ). Таким образом, предел ξ является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле с любой степенью точности. Находим первую производную: dF/dx = 0.2•x-log(x)-1
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
fmin = -1.609, fmax = 14.395 max(0.2•x-log(x)-1) ≈ 14.3948 Значение λ = 1/(14.3948) ≈ 0.06947 Таким образом, решаем следующее уравнение: x-0.0695*(0.1*x*x-x*ln(x)) = 0 Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-100;100] разобьем на 2 подынтервалов. h0 = -100 + 0*(100-(-100))/2 = -100 h1 = -100 + (0+1)*(100-(-100))/2 = 0 Поскольку F(0) = 0, то корень x = 0 h1 = -100 + 1*(100-(-100))/2 = 0 h2 = -100 + (1+1)*(100-(-100))/2 = 100
Метод касательных
Найдем корни уравнения: 0.1x*x-x*ln(x) = 0 ε = 0.001 Используем для этого Метод Касательных. Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим: xn = xn-1 + hn-1 Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим: f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0 Отсюда следует: Подставим hn-1 в формулу, получим: Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Находим первую производную: dF/dx = 0.2•x-log(x)-1 Находим вторую производную: d2F/dx2 = 0.2-1/x Решение. Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-100;100] разобьем на 2 подынтервалов. h0 = -100 + 0*(100-(-100))/2 = -100 h1 = -100 + (0+1)*(100-(-100))/2 = 0 Поскольку F(0) = 0, то корень x = 0 h1 = -100 + 1*(100-(-100))/2 = 0 h2 = -100 + (1+1)*(100-(-100))/2 = 100
Метод хорд
Найдем корни уравнения: 0.1x*x-x*ln(x) = 0 ε = 0.001 Используем для этого Метод хорд. Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0. Уравнение хорды: В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня Проверяем условия: 1. f(x1)f(b)<0, 2. f(x1)f(a)<0. Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x1, получим: Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения: Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку b заменяем на x1), получим: Продолжая процесс, придем к формуле: Останов процесса: |xn – xn-1|< ε, ξ = xn. Находим первую производную: dF/dx = 0.2•x-log(x)-1 Находим вторую производную: d2F/dx2 = 0.2-1/x Решение. Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-100;100] разобьем на 2 подынтервалов. h0 = -100 + 0*(100-(-100))/2 = -100 h1 = -100 + (0+1)*(100-(-100))/2 = 0 Поскольку F(0) = 0, то корень x = 0 h1 = -100 + 1*(100-(-100))/2 = 0 h2 = -100 + (1+1)*(100-(-100))/2 = 100
Решение
Представим уравнение в форме: x = x - λ(0.1*x*x-x*ln(x)) Найдем максимальное значение производной от функции f(x) = 0.1*x*x-x*ln(x) y = 0.2*x-log(x)-1 [-100;100] Находим первую производную функции: или Приравниваем ее к нулю: x1 = 5 Вычисляем значения функции на концах отрезка f(5) = -1.609 f(-100) = not f(100) = 14.3948298140119 Ответ: fmin = -1.609, fmax = 14.395 max(0.2•x-log(x)-1) ≈ 14.3948 Значение λ = 1/(14.3948) ≈ 0.06947 Таким образом, решаем следующее уравнение: x-0.0695*(0.1*x*x-x*ln(x)) = 0 Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-100;100] разобьем на 2 подынтервалов. h0 = -100 + 0*(100-(-100))/2 = -100 h1 = -100 + (0+1)*(100-(-100))/2 = 0 Поскольку F(0) = 0, то корень x = 0 h1 = -100 + 1*(100-(-100))/2 = 0 h2 = -100 + (1+1)*(100-(-100))/2 = 100
Метод касательных
Найдем корни уравнения: 0.1x*x-x*ln(x) = 0 ε = 0.001 Используем для этого Метод Касательных. Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]
. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим: xn = xn-1 + hn-1 Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим: f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0 Отсюда следует: Подставим hn-1 в формулу, получим: Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Находим первую производную: dF/dx = 0.2•x-log(x)-1 Находим вторую производную: d2F/dx2 = 0.2-1/x Решение. Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
