Найдём координаты данного вектора в каждом из этих базисов

Составим матрицы из координат базисных векторов:
A=11-12-12-111, B=20-2111021
Матрица перехода может быть получена следующим образом:
C=A-1B
Найдём матрицу, обратную к матрице A: A-1=1AA+T, где A – определитель матрицы A, A+T – транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы A.
A=11-12-12-111=-1-2-2+1-2-2=-8
Найдём алгебраические дополнения матрицы A:
A11=-1211=-3, A12=-22-11=-4,A13=2-1-11=1
A21=-1-111=-2, A22=1-1-11=0,A23=-11-11=-2
A31=1-1-12=1, A32=-1-122=-4,A33=112-1=-3
Составим обратную матрицу:
A-1=-18-3-21-40-41-2-3=0.3750.25-0.1250.500.5-0.1250.250.375
Получим матрицу перехода от базиса (a) к базису (b):
C=1832-1404-123∙20-2111021=1880-588-4087=10-0.62511-0.5010.875
Найдём матрицу обратного перехода, как матрицу, обратную к найденной:
С=10-0.62511-0.5010.875=0.875-0.625+0.5=0.75
Вычислим алгебраические дополнения:
С11=1-0.510.875=1.375, С12=-1-0.500.875=-0.875,С13=1101=1
С21=-0-0.62510.875=-0.625, С22=1-0.62500.875=0.875,С23=-1001=-1
С31=0-0.6251-0.5=0.625, С32=-1-0.6251-0.5=-0.125,С33=1011=1
Составим матрицу перехода от базиса (b) к базису (a):
С-1=10.751.375-0.6250.625-0.8750.875-0.1251-11=1611-55-77-18-88
Найдём координаты данного вектора в каждом из этих базисов:
x=-121, xa=A-1x=1832-1404-123∙-121=18008=001
Полученный результат соответствует равенству x=a3.
Для второго базиса используем найденную матрицу перехода:
xb=С-1∙xa=1611-55-77-18-88∙001=165-18=56-1686