На множестве R – действительных чисел заданы следующие отношения

Дадим вначале основные определения.
Отношение R называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно:
1) рефлексивно;
2) симметрично;
3) транзитивно.
Отношение R называется рефлексивным на множестве Х, если для любого элемента имеет место .
Отношение R называется антирефлексивным на множестве X, если для любого элемента имеет место .
Отношение R называется симметричным на множестве X, если для любой пары из отношения следует .
Отношение R называется антисимметричным на множестве X, если для любой пары из отношений и следует .
Отношение R называется транзитивным на множестве X, если для любых из отношений и следует .
Рассматриваем заданные в условии отношения.
«число х = числу у».
Это отношение является рефлексивным, поскольку для любого числа х выполняется «число х = числу х».
Это отношение является симметричным, поскольку из того, что «число х = числу у», следует, что «число у = числу х».
Это отношение является транзитивным, поскольку из того, что «число х = числу у» и «число у = числу z», следует, что «число х = числу z».
Значит, это отношение является отношением эквивалентности.
«число х больше числа у».
Это отношение является антирефлексивным, поскольку для любого числа х не выполняется «число х больше числа х».
Значит, это отношение не является отношением эквивалентности.
«число х предшествует числу у».
Это отношение является антирефлексивным, поскольку для любого числа х не выполняется «число х предшествует числу х».
Значит, это отношение не является отношением эквивалентности.
«число х делится на число у без остатка».
Это отношение является рефлексивным, поскольку для любого числа х выполняется «число х делится на число х без остатка».
Это отношение является антисимметричным, поскольку из того, что «число х делится на число у без остатка» и «число у делится на число х без остатка», следует, что х=у.
Значит, это отношение не является отношением эквивалентности.