На плоскости даны n ≥ 3 прямых в общем положении

Докажем по индукции, что количество частей равно 1 + ½ n(n + 1). База (n = 1) очевидна. Шаг индукции. Пусть n > 1. По предположению индукции перед проведением n-й прямой было 1 + ½ (n – 1)n частей. Новая прямая делится точками пересечения со старыми прямыми на n интервалов. Каждый из этих интервалов разбивает одну часть на две. Следовательно, добавится n частей.
Поэтому всего частей станет 1 + ½ (n – 1)n + n = 1 + ½ n(n + 1).
Сколько среди этих частей многоугольников?
а) Пусть n прямых разбивают плоскость на an частей. Проведем еще одну прямую. При этом число частей увеличится на n + 1, так как новая прямая имеет n точек пересечения с уже проведенными прямыми . Поэтому an + 1 = an + n + 1. Так как a1 = 2, то an = 2 + 2 + 3 +...+ n = (n2 + n + 2)/2.
б) Заключив все точки пересечения данных прямых в окружность, легко проверить, что количество неограниченных фигур равно 2n. Поэтому количество ограниченных фигур равно (n2 + n + 2)/2 - 2n = (n2 - 3n + 2)/2.
c) Докажите, что среди частей есть хотя бы один треугольник.
Рассмотрим некоторую прямую l и точку пересечения A двух других прямых k и m, расположенную ближе всего к выбранной прямой среди всех попарных точек пересечения данных прямых (отличных от l). Пусть прямые k и m пересекают прямую l в точках B и C соответственно