На числовой прямой красным цветом отмечены все целые точки

Решим задачу сразу в общем виде, заменив 81 и 100 на взаимно простые натуральные числа a и b, большие 2.  Ясно, что все все точки с координатами, меньшими  a + b,  – синие (а сама точка  a + b  – красная). Из решения задачи видно, что точка ab – синяя, а все точки с бóльшими ординатами – красные . Следовательно, искомой может быть только точка  ½ (ab + a + b).  Это значит, что для каждого целого ровно одно из уравнений  x + by = c  и  ax + by = ab + a + b – c  имеет натуральные решения. Докажем, что это действительно так.   Отсюда следует, что уравнение  ax + by = c  имеет решение  (x0, y0),  где  1 ≤ x0 ≤ b.  Тогда  (b + 1 – x0, 1 – y0)  – решение уравненияax + by = ab + a + b – c.  Если  y0 > 0,  то мы нашли натуральное решение первого уравнения, а если  y0 ≤ 0,  то – второго.  Пусть оба уравнения имеют натуральные решения