Методом конечных разностей найти решение краевой задачи. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Методом конечных разностей найти решение краевой задачи

Методом конечных разностей найти решение краевой задачи .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Методом конечных разностей найти решение краевой задачи –y''+qxy=f(x)y0=y0,y1=y1 с шагами h1=1/3, h2=1/6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений. qx=3/2-x2 fx=1/2-x3 y0=1/2 y1=1 –y''+3/2-x2y=1/2-x3y0=1/2,y1=1

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/3, получим четыре узловые точки:
x0=0,
x1=13,
x2=23,
x3=1,
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
y'xi=yi+1-yi-12h
–y''+3/2-x2y=1/2-x3y0=1/2,y1=1
y0=1/2-y2-2y1+y0(1/3)2+3/2-x12y1=1/2-x13-y3-2y2+y11/32+3/2-x22y2=1/2-x23y3=1
y0=1/2-9y2+18y1-9y0+1,08y1=0,216-9y3+18y2-9y1+1,6875y2=0,421875y3=1
y0=1/2-9y0+19,08y1-9y2=0,216-9y1+19,6875y2-9y3=0,421875y3=1
1000-919,08-900-919,6875-900011/20,2160,4218751
Решим систему уравнений методом прогонки:
Вычислим прогоночные коэффициенты:
-β1γ100α2-β2γ200α3-β3γ300α4-β4δ1δ2δ3δ4
Pi=γiβi-αiPi-1,
Qi=αiQi-1-δiβi-αiPi-1.
P1=γ1β1=0
P2=γ2β2-α2P1=0,471698
P3=γ3β3-α3P2=0.582818
Q1=α1Q0-δ1β1-α1P0=0.5
Q2=α2Q1-δ2β2-α2P1=0.602921
Q3=α3Q2-δ3β3-α3P2=0.754192
Обратный ход:
xn=αnQn-1-δnβn-αnPn-1,
xn-1=Pn-1xn+Qn-1,
y4=α4Q3-δ4β4-α4P2=1,
y3=P3y4+Q3=0.754192,
y2=P2y3+Q2=0.602921,
y1=P1y2+Q1=0.5,
Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/6, получим семь узловых точек:
x0=0,
x1=16,
x2=13,
x3=12,
x4=23,
x5=56,
x6=1,
y0=1/2-y2-2y1+y0(1/3)2+3/2-x12y1=1/2-x13-y3-2y2+y11/32+3/2-x22y2=1/2-x23y3=1
y0=1/2-y2-2y1+y0(1/6)2+3/2-x12y1=1/2-x13-y3-2y2+y11/62+3/2-x22y2=1/2-x23-y4-2y3+y21/62+3/2-x32y3=1/2-x33-y5-2y4+y3(1/6)2+3/2-x42y4=1/2-x43-y6-2y5+y4(1/6)2+3/2-x52y5=1/2-x53y6=1
y0=1/2-36y0+72y1-36y2+0,89256y1=0,162284-36y1+72y2-36y3+1,08y2=0,216-36y2+72y3-36y4+1,33333y3=0,296296-36y3+72y4-36y5+1,6875y4=0,421875-36y4+72y5-36y6+2,20408y5=0,629738y6=1
y0=1/2-36y0+72,89256y1-36y2=0,162284-36y1+73,08y2-36y3=0,216-36y2+73,33333y3-36y4=0,296296-36y3+73,6875y4-36y5=0,421875-36y4+74,20408y5-36y6=0,629738y6=1
Решим систему уравнений
y0=0,5,
y1=0,545785,
y2=0,600776
y3=0,667701,
y4=0,751125,
y5=0,858042,
y6=1
Оценка погрешности по правилу Рунге:
σ=yih-yih23
x y(x) (h=1/3) y(x) (h=1/6) погрешность по рунге
0 0,5 0,5 0
0,166667
0,545875
0,333333 0,602921 0,600776 0,000715
0,5
0,667701
0,666667 0,754192 0,751125 0,001023
0,833333
0,858042
1 1 1 0
Графики приближенных решений:

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу