Механическая система из состояния покоя приводится в движение телом 1
или моментом М2. Механическая система состоит из катков, ступенчатых шкивов и груза. Катки считаются сплошными однородными деталями, ступенчатые
шкивы имеют радиусы ступеней R и r и радиусы инерции относительно оси
вращения Р. Тела системы соединены друг с другом нерастяжимыми нитями;
участки нити параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел приложен постоянный момент сопротивления МС. Все катки катятся по плоскости
без скольжения.
Дано:
Вращающий момент М2 = 102 Н·м; Веса тел: P1 = 80 Н, P2 = 20 Н, P3 = 360 Н;
Радиусы: R2 = 2r2 = 0,2 м; R3 = 2r3 = 0,4 м;
Радиусы инерции тел: ρ3 = 2ρ2 = 0,4 м; Момент сопротивления: МС = 75 Н·м; тело 3 – однородный диск; AB ‖ DЕ
Исследовать движение механической системы и определить:
1) кинетическую энергию тела 1;
2) кинетическую энергию тела 2, выраженную через скорость тела 1;
3) кинетическую энергию тела 3, выраженную через скорость тела 1;
4) сумму работ всех тел, выраженную через перемещение тела 1;
5) ускорение тела 1.
Ответ
v1 = 2,25·s, а1 = 2,54 м/с2, Т1 = 4,077·v12, Т2 =1,025·v12, Т3 = 5,735·v12,
АkЕ = 55·s.
Решение
Определим кинематические характеристики тел 2 и 3 в зависимости от скорости v1 и ускорения а1 груза 1 (тела 1):
𝜔2 = v1/R2 = v1/0,2 = 5·v1, ε2 = a1/R2 = 5·a1, так как vА = vВ , то: vА = 𝜔2·r2. Точка К колеса 3 является мгновенным центром скоростей, поэтому vА = 𝜔3·2r3, следовательно:
𝜔3·2r3 = 𝜔2·r2, 𝜔3 = 𝜔2·r2/2r3 = v1·r2/ (R2·R3) = v1·0,1/(0,2·0,4) = 1,25·v1, итак
𝜔3 = 1,25·v1 и следовательно ε3 = 1,25·а1. Скорость точки С равна:
vС = vА/2 = 𝜔3·2r3/2 = 𝜔3·R3/2 = 1,25·v1·R3/2 = 1,25·v1·0,4/2 = 0,25·v1, cледовательно тангенциальное (касательное) ускорение точки С, равно:
аСτ = 0,25·а1, и ε3 = аСτ/r3 = 0,25·а1/0,2 = 1,25·a1.
Находим моменты инерции тел 2 и 3, относительно собственных осей:
J2 = J0 = m2·ρ22 = P2·ρ22/g = 20·0,22/9,81 = 0,082 кг·м2,
J3 = JС = m3·ρ32 = P3·ρ32/g = 360·0,42/9,81 = 5,872 кг·м2
.
Для определения v1 и а1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: Т - Т0 = АkЕ., (1).
Определяем Т и Т0 . Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0 = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы: Т = Т1 + Т2 + Т3, (2)
Учитывая, что тело 1 движется поступательно, тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, а тело 3 совершает плоскопараллельное движение, получим:
Т1 = m1·v12/2 = P1·v12/2g = 80·v12/(2·9,81) = 4,077·v12,
Т2 = J2·ω22/2 = 0,082·(5·v1)2/2 = 1,025·v12,
Т3 = J3·ω32/2 + P3·vC2/2g = 5,872·(1,25·v1)2/2 + 360·(0,25·v1)2/(2·9,81) = 5,735·v12,
тогда: Т = 4,077·v12+ 1,025·v12 + 5,735·v12 = 10,837·v12, (3).
Находим сумму работ всех действующих внешних сил на каком-то перемещении s груза 1.
А(Р1) = - Р1·s = - 80·s,
А(M2) = M2·φ2 = M2·s/R2 = 102·s/0,2 = 510·s,
А(MC) = - MC·φ2 = - MC·s/R2 = - 75·s/0,2 = - 375·s, работы остальных сил равны нулю, т.к
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
