Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней 𝑅3 = 0,3 м, 𝑟3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения
𝜌3 = 0,2 м, блока 4 радиуса 𝑅4 = 0,2 м и катка (или подвижного блока) 5; тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения груза о плоскость 𝑓 = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости c. Под действием силы 𝐹 = 𝑓(𝑠), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в начальный момент времени равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным 𝑠1 = 0,2 м. Искомая величина « ω4». Все катки, включая и катки обмотанные нитями, катятся по плоскостям без скольжения.
Рисунок 4.
Решение
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2, 4, 5 и невесомых 1 и 3 (тело 1 - удаляем, не показываем на рисунке). Изображаем, действующие на систему внешние силы:
а) активные F, Fупр, Р2, Р3, Р4, Р5, сила Р3 = 0 и изображена формально;
б) реакции N2, N3, N4, N5, реакция N3 = 0 и изображена формально;
в) сила трения F2тр и г) момент от сил сопротивления М.
Для определения величины ω4 воспользуемся теоремой об изменение кинетической энергии механической системы: Т - Т0 = ΣАiе, (1)
2. Определяем Т0 и Т. Так как в начальный момент времени система находилась в покое, то Т0 = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:
Т = Т2 + Т4 +Т5, (2), учитывая, что тело 2 движется поступательно, тело 4 - вращается вокруг неподвижной оси, а тело 5 (каток) совершает плоскопараллельное движе-
ние, получим:
Т2 = m2·v22/2; Т4 = J4·ω24/2; Т5 = m5·v2С5/2 + JС5·ω25 /2; (3).
Выражаем все скорости через искомую угловую скорость ω4.
v2 = ω4·𝑅4 = 0,2·ω4; ω3 = v2/r3= 0,2·ω4/0,1 = 2·ω4; cкорость точек, лежащих на внешнем ободе катка 5, равна v5 = ω3· 𝑅3 = 2·ω4·0,3 = 0,6·ω4; так как точка К5 для катка 5, является мгновенным центром скоростей, то vС5 = v5/2 = 0,3·ω4, а угловая скорость ω5,
ω5 = vС5/r5 = 2vС5/𝑅3 = 2·0,3·ω4/0,3 = 2·ω4
. Находим моменты инерции J4 и JС5:
J4 = m4·𝑅24 = 6·0,22 = 2,4 кг·м2;
JС5 = m5·r25/2 = m5·(𝑅3/2)2/2 = m5·𝑅23/8 = 4·0,32/8 = 0,045 кг·м2
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
