Локализовать корень нелинейного уравнения fx=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01

Отделим корни уравнения графически. Приведем исходное уравнение к виду: x-1=x-4. Построим графики функций y1x=x-1 и y2=x-4. Точки пересечения графиков - корни уравнения:
Отрезок локализации [6;7].
Функция y=x-1-x+4 непрерывна на этом отрезке и принимает на его концах значения разных знаков:
y6=6-1-6+4=0,236,
y7=7-1-7+4=-0,551.
Первая итерация:
Найдем середину x1=6,5 отрезка [6;7] и вычислим значение функции y=x-1-x+4 в этой точке: y6,5=-0,155.
∆6,5=7-62=0,5.
y6=6-1-6+4=0,236>0,
y7=7-1-7+4=-0,551<0.
a1,b1=[6;6,5].
Остальные итерации представлены в таблице:
Погрешность вычисленного значения определяется по формуле:
∆x=b-a2
№ a b x F(a) F(b) F(x) ∆
1 6 7 6,5 0,236068 -0,55051 -0,15479 0,5
2 6 6,5 6,25 0,236068 -0,15479 0,041288 0,25
3 6,25 6,5 6,375 0,041288 -0,15479 -0,0566 0,125
4 6,25 6,375 6,3125 0,041288 -0,0566 -0,00761 0,0625
5 6,25 6,3125 6,28125 0,041288 -0,00761 0,016847 0,03125
6 6,28125 6,3125 6,296875 0,016847 -0,00761 0,004619 0,015625
7 6,296875 6,3125 6,304688 0,004619 -0,00761 -0,0015 0,007813
Требуемая точность достигнута на седьмой итерации:
x=a7+b72=6,30.
Приведем уравнение к итерационному виду: x-1-x+4
x=(x-4)2+1, или x=x-1+4
Условие сходимости итерационного процесса φi'(x)≤q<1 на отрезке [6;7] выполняется для уравнения: x=x-1+4
φ'x=12x-1
Найдем максимальное по модулю значение:
Максимальное значение достигается на концах отрезка или в точке экстремума.
Проверим наличие на отрезке экстремальных точек:
x-1≠0
x≠1
Точки экстремума функции не принадлежит отрезку локализации корня уравнения [6; 7], значит функция φ'x=12x-1 монотонна на отрезке локализации, и принимает свое наибольшее значение на одном из концов отрезка:
φ'6=0,224,
φ'7=0,204.
q=0,224
Итерационная формула:
xk+1=xk-1+4
Первая итерация:
x0=6,30
x1=6,30-1+4=6,302173
Оценим число итераций, необходимое для достижения заданной точности:
Критерий окончания итераций:
x(k)-x(k-1)<ε1
ε1=1-qqε
значит
x(k)-x(k-1)<1-qqε
x(k)-x(k-1)q1-q<ε
x-x(k)≤qk1-qx(1)-x(0)≤ε
Выразим количество итераций:
qk≤(1-q)εx(1)-x(0)
Так как lnq<0
k≥ln(1-q)εx(1)-x(0)lnq
k≥ln1-0,224*0,00010,002173ln0,224≈3
Критерий окончания итераций:
x(k)-x(k-1)<ε1
ε1=1-qqε=1-0,2240,2240,0001=0,00035
Итерации представлены в таблице:
k x(k) |x(k)- x(k-1)|
0 6,3
1 6,302173 0,002173
2 6,302645 0,000472
3 6,302747 0,000102
Указанная точность достигнута на 2 итерации (согласно априорной оценке требуется 3 итераций)