K=3,9; L=2,3.
Найти решение задачи Коши для ОДУ:
y'=x2+1,45 y
y0=2,3
на интервале 0;2.
Решить пятью методами:
1. Метод вариации постоянных (точное решение)
2. Разложение в ряд Тейлора до четвертого порядка
3. Метод Эйлера
4. Метод трапеций
3. Метод Рунге-Кутта
Построить графики и сравнить точность различных методов, шаг h=0,5.
Решение
Y'=x2+1,45 y
1) Метод вариации постоянных (точное решение)
В методе вариации постоянных решение ищется в виде y=Cx∙yодн.. Однородное уравнение y'-1,45 y=0 имеет очевидное решение ∙yодн.=C∙e1,45x.
Подстановка в неоднородное уравнение дает уравнение для коэффициента: C'x=x2e-1,45x
Cx=x2e-1,45x=C-0,69x2e-1,45x-0,95xe-1,45x-0,66e-1,45x
C-0,69∙02∙e-1,45∙0-0,95∙0∙e-1,45∙0-0,66∙e-1,45∙0=2,3
C-0,66=2,3
C=2,3+0,66=2,96
После интегрирования и подстановки начального условия получим:
yx=2,96-0,69x2e-1,45x-0,95xe-1,45x-0,66e-1,45x∙e1,45x=
=2,96e1,45x-0,69x2-0,95x-0,66
2. Разложение в ряд Тейлора до четвертого порядка
Разложение в ряд Тейлора проводится в точке x=0. Все производные в этой точке известны: y'0=y0=2,3
y''x=2,3x+y'x, y''0=y'0=2,3
y'''x=2,3+y''x, y'''0=4,6
y4x=y'''x, y40=4,6
yTx=y0+y'0x+y''02!x2+y'''03!x3+y404!x4=
=2,3+2,3x+1,45x2+0,77x3+0,19x4
3
. Метод Эйлера.
Итерационная формула метода Эйлера:
xi+1=xi+h; yi+1=yi+h∙fxi;yi
Определим начальное условие
x0=0; y0=2; fx;y=x2+1,45 y
Рассчитаем значения для x:
x0=0
x1=x0+h=0+0,5=0,5
x2=x1+h=0,5+0,5=1,0
x3=x2+h=1,0+0,5=1,5
x4=x3+h=1,5+0,5=2,0
Итерация_1.
fx0;y0=x02+1,45 y0=02+1,45∙2=0+2,9=2,9
y1=y0+h∙fx0;y0=2+0,5∙2,9=2+1,45=3,45
Следующие шаги представим в таблице:
i
xi
yi
fxi;yi
0 0 2 2,9
1 0,5 3,45 5,2525
2 1 6,07625 9,8105625
3 1,5 10,9815313 18,17322031
4 2 20,0681414
2. Метод трапеций.
xi+1=xi+h; yi+1=yi+h2∙fxi;yi+fxi+1;yi+h∙fxi;yi
Определенные начальные условия в методе Эйлера такие же, что и в методе трапеций, тогда:
x0=0; x1=0,5;x2=1,0; x3=1,5; x4=2,0.
fx0;y0=2,9; fx1;y1=5,2525; fx2;y2=9,8105625; fx3;y3=18,17322031
y1=y0+h2∙fx0;y0+fx1;y0+h∙fx0;y0=
=2+0,52∙2,9+f0,5;2+0,5∙2,9=2+0,25∙2,9+f0,5;3,45=2,038125
Следующие шаги представим в таблице:
i
xi
fxi;yi
yi+h∙fxi;yi
fxi+1;yi+h∙fxi;yi
yi
0 0 2,9 3,45 5,2525 2,038125
1 0,5 6,1053 7,091 11,28161016 4,347
2 1 13,1580 14,964 23,94760069 9,276
3 1,5 27,8588 31,591 49,80646499 19,416
4 2 57,7625 65,959 95,6402887 38,351
б) Метод Рунге-Кутты.
xi+1=xi+h; yi+1=yi+h6∙k1i+2∙k2i+2∙k3i+k4i
k1i=fxi; yi
k2i=fxi+h2; yi+h2∙k1i; k3i=fxi+h2; yi+h2∙k2i; k4i=fxi+h; yi+h∙k3i
Начальные условия – те же.
На первом шаге имеем:
h=0,5; x0=0; y0=2.
x1=x0+h=0+0,5=0,5
k10=fx0; y0=x02+1,45 y0=02+1,45∙2=0+2,9=2,9
k20=fx0+h2;y0+h2∙k10≈4,0138
k30=fx0+h2;y0+h2∙k20≈4,4175
k40=fx0+h; y0+h∙k30≈6,3527
y1=y0+h6∙k10+2∙k20+2∙k30+k40=
=2+0,56∙2,9+2∙4,0138+2∙4,4175+6,3527≈4,1763
Следующие шаги представим в таблице:
i
xi
k1i
k2i
k3i
k4i
yi
0 0 2,9000 4,0138 4,4175 6,3527 2
1 0,5 6,3056 8,9039 9,8457 14,1937 4,1763
2 1 14,0637 19,7243 21,7763 31,1015 9,0095
3 1,5 30,8005 42,7782 47,1201 66,7126 19,6900
4 2 66,0588 91,0676 100,1333 140,9054 42,7992
Построим на одном чертеже графики точного и приближенных решений.
Ответ.
n
xi
yi
М.Э
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
