Известны x1,x2,…,xn- результаты независимых наблюдений над случайной величиной X.
Сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, подобрав длину интервала.
Построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.
Найти несмещённые оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины X. Указать моду M0.
По критерию χ2 (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет нормальный закон распределения.
Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X с уровнем доверия γ=0,9.
36 50 31 45 42 60 35 35 21 33
47 55 42 36 40 49 56 41 54 30
25 22 32 44 53 41 52 37 21 30
54 43 51 42 26 32 45 50 44 25
39 42 42 53 42 58 45 29 34 46
59 37 40 43 55 55 52 38 48 51
Решение
Объем выборки равен n=60
Сгруппируем данные в интервальную таблицу:
Определим число интервалов по формуле Стерджеса:
N=1+3,322lgn=1+3,322lg60=1+3,322∙1,778≈6,9≈7
Выделим 7 интервалов.
Расчитаем величину каждого интервала, для этого найдем размах выборки:
xmax=60 xmin=21
Размах выборки:
R=xmax-xmin=60-21=39
Величина интервала:
l=RN=397≈5,6
Примем x0=xmin, x1=x0+l, …
Посчитаем количество вхождений вариант в каждый из интервалов.
Интервальный ряд распределения:
Интервал [21;26,6)
[26,6;32,2)
[32,2;37,8)
[37,8;43,4)
[43,4;49)
[49;54,6)
[54,6;60,2)
Середина, xi
23,8 29,4 35 40,6 46,2 51,8 57,4
Частота, ni
6 6 8 14 8 11 7
Накопленная частота, Si
6 12 20 34 42 53 60
Относительная частота, ωi
0,1 0,1 0,13 0,24 0,13 0,18 0,12
Накопленная относительная частота 0,1 0,2 0,33 0,57 0,7 0,88 1
Эмпирическая функция распределения:
F*x=0, x≤210,1, 21<x≤26,60,2, 26,6<x≤32,20,33, 32,2<x≤37,80,57, 37,8<x≤43,40,7, 43,4<x≤490,88, 49<x≤54,61, x>54,6
Найдем точечные оценки:
x=1n∙i=17xi∙ni=23,8∙6+29,4∙6+35∙8+40,6∙14+46,2∙8+51,8∙11+57,4∙760=
=2508,860≈41,81
DВ=1n∙i=17xi2∙ni-x2=
=23,82∙6+29,42∙6+352∙8+40,62∙14+46,22∙8+51,82∙11+57,42∙760-41,812
=111116,360-1748,08=103,86
S2=nn-1∙DВ=6059∙103,86=105,62
s=S2=10,28
Мода находится в интервале с наибольшей частотой
[37,8;43,4)
Моду найдем по формуле:
Mo=x0+l∙nm-nm-1nm-nm-1+(nm-nm+1)
x0 - нижняя граница модального интервала, l - величина модального интервал,nm-1,nm,nm+1 - частоты интервалов предшествующих модальному, модального, следующего за модальным
Mo=37,8+5,6∙14-814-8+14-8=37,8+5,6∙0,5=40,6
Выдвинем гипотезу H0 - X распределена по нормальному закону с параметрами:
a≈x=41,81 σ≈s=10,28
Вычислим теоретические частоты попадания в каждый из интервалов:
ni'=pi∙n
pi=Фxi+1-xs-Фxi-xs
p1=Ф26,6-41,8110,28-Ф21-41,8110,28=Ф-1,48-Ф-2,02=
=-Ф1,48+Ф2,02=-0,4306+0,4783=0,0477 n1'=2,862
p2=Ф32,2-41,8110,28-Ф26,6-41,8110,28=Ф-0,93-Ф-1,48=
=-Ф0,93+Ф1,48=-0,3238+0,4306=0,1068 n2'=6,408
p3=Ф37,8-41,8110,28-Ф32,2-41,8110,28=Ф-0,39-Ф-0,93=
=-Ф0,39+Ф0,93=-0,1517+0,3238=0,1721 n3'=10,326
p4=Ф43,4-41,8110,28-Ф37,8-41,8110,28=Ф0,15-Ф-0,39=
=Ф0,15+Ф0,39=0,0596+0,1517=0,2113 n4'=12,678
p5=Ф49-41,8110,28-Ф43,4-41,8110,28=Ф0,7-Ф0,15=0,2580-0,0596=
=0,1984 n5'=11,904
p6=Ф54,6-41,8110,28-Ф49-41,8110,28=Ф1,24-Ф0,7=0,3925-0,2580=
=0,1345 n6'=8,07
p7=Ф60,2-41,8110,28-Ф54,6-41,8110,28=Ф1,79-Ф1,24=0,4633-0,3925=
=0,0708 n7'=4,248
Вычислим значение статистики:
χнабл2=i=17(ni-ni')2ni'
Составим расчетную таблицу:
ni
ni'
ni-ni'
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
6 2,862 3,138 9,847 3,44
6 6,408 -0,408 0,166 0,03
8 10,326 2,326 5,41 0,52
14 12,678 1,322 1,748 0,14
8 11,904 -3,904 15,241 1,28
11 8,07 2,93 8,585 1,06
7 4,248 2,752 7,573 1,78
8,25
χнабл2=8,25
По таблице критических значений χ2 при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы: k=7-2-1=4, находим:
χкрит24;0,05=9,49
Так как χнабл2<χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении совокупности принимается.
Интервальная оценка для математического ожидания:
x-tγ∙sn;x+tγ∙sn
tγ: 2Фtγ=γ => Фtγ=γ2=0,45 => tγ≈1,64
41,81-1,64∙10,2860;41,81+1,64∙10,2860
39,63;43,99
С вероятностью 0,9 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Интервальная оценка для среднеквадратического отклонения:
s1-q<σ<s(1+q)
По таблице значений q для n=60,γ=0,9, получаем:
q60;0,9=0,188
10,281-0,188<σ<10,281+0,188
8,35<σ<12,21 => 69,72<S2<149,08
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
