Известны результаты независимых наблюдений над случайной величиной X

Сгруппируем данные в интервальную таблицу. Для этого найдем:
а) Объем выборки n=86; xmin=0,24; xmax=2,63
б) Количество интервалов по формуле Стерджеса:
k=1+3,322∙lg86=1+6,425=7,425≈7
в) Длина интервала:
h=xmax-xmink=2,63-0,247≈0,35
г) xнач=xmin-0,5∙h=0,24-0,175=0,065
Построим интервальный ряд:
Интервал
Частота, ni
Середина, xi
(0,065;0,415)
5 0,24
(0,415;0,765)
35 0,59
(0,765;1,115)
28 0,94
(1,115;1,465)
9 1,29
(1,465;1,815)
4 1,64
(1,815;2,165)
2 1,99
(2,165;2,515)
2 2,34
(2,515;2,865)
1 2,69
Объединим последние четыре интервала, в которых частота меньше пяти.
Интервал
Частота, ni
Середина, xi
Плотность частоты, nih
Относительная
частота Накопленная частота
(0,065;0,415)
5 0,24 14,29 0,06 0,06
(0,415;0,765)
35 0,59 100 0,41 0,47
(0,765;1,115)
28 0,94 80 0,33 0,8
(1,115;1,465)
9 1,29 25,71 0,1 0,9
(1,465;2,865)
9 2,165 6,43 0,1 1
Построим по данным интервальной таблицы полигон частот и гистограмму частот:
Составим эмпирическую функцию распределения.
Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x
F*x=nxn
nx - число вариантов меньших X
F*x=0, x≤0,240,06, 0,24<x≤0,590,47, 0,59<x≤0,940,8, 0,94<x≤1,290,9, 1,29<x≤2,1651, x>2,165
Построим график эмпирической функции распределения:
Найдем несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X
xВ=1n∙i=15xi∙ni=0,24∙5+0,59∙35+0,94∙28+1,29∙9+2,165∙986=79,26586≈0,922
S2=nn-1∙1ni=18xi2∙ni-(xВ)2=
=8685∙0,242∙5+0,592∙35+0,942∙28+1,292∙9+2,1652∙986-0,9222=
=8685∙1,098-0,85=0,251
s=S2=0,251≈0,5
Найдем интервальные оценки математического ожидания:
xВ-tγ∙sn<a<xВ+tγ∙sn
tγ найдем, исходя из того, что: 2Фtγ=γ
γ=0,9 => Фtγ=0,45
По таблице значений функции Лапласа находим:
Ф1,64=0,45 => tγ=1,64
0,922-1,64∙0,586<a<0,922+1,64∙0,586
0,834<a<1,01
γ=0,95 => Фtγ=0,475
По таблице значений функции Лапласа находим:
Ф1,96=0,45 => tγ=1,96
0,922-1,96∙0,586<a<0,922+1,96∙0,586
0,816<a<1,028
Найдем интервальные оценки среднеквадратического отклонения:
s1-q<σ<s1+q
γ=0,95 q86;0,95=0,16
0,5∙0,84<σ<0,5∙1,16
0,42<σ<0,58
Выдвинем гипотезу H0 – генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами: a≈xВ=0,922, σ≈s=0,5
Вычислим теоретические частоты попадания в интервал по формуле:
ni'=pi∙n
pi=Фzi+1-Фzi
zi+1=xi+1-0,9220,5, zi=xi-0,9220,5
Составим вспомогательную расчетную таблицу:
Интервал
zi+1
zi
Фzi+1
Фzi
pi
ni'
(-∞;0,415)
-∞
-1,014 -0,5 -0,345 0,155 13,355
(0,415;0,765)
-1,014 -0,314 -0,345 -0,123 0,221 19,046
(0,765;1,115)
-0,314 0,386 -0,123 0,15 0,273 23,52
(1,115;1,465)
0,386 1,086 0,15 0,361 0,211 18,147
(1,465;∞)
1,086 ∞
0,361 0,5 0,139 11,932
Вычислим значение критерия:
χнабл2=i=18(ni-ni')2ni'
Интервал
ni
ni'
(ni-ni')
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
(-∞;0,415)
5 13,355 -8,355 69,806 5,227
(0,415;0,765)
35 19,046 15,954 254,53 13,364
(0,765;1,115)
28 23,52 4,48 20,07 0,853
(1,115;1,465)
9 18,147 -9,147 83,668 4,611
(1,465;∞)
9 11,932 -2,932 8,597 0,72
=24,775
χнабл2=24,775
По таблице критических значений χкрит2 при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы: k=5-2-1=2,(число интервалов 5, число оцениваемых параметров нормального распределения 2) находим:
χкрит2=5,99
Так как χнабл2>χкрит2, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами: a≈xВ=159,18, σ≈s=27,3 необходимо отвергнуть.
Вывод:
По данным таблицы данные сгруппированы в интервальную таблицу, построена гистограмма, полигон и эмпирическая функция распределения