Известны результаты независимых наблюдений над случайной величиной X

Сгруппируем данные в интервальную таблицу. Для этого найдем:
а) Объем выборки n=92; xmin=100; xmax=218
б) Количество интервалов по формуле Стерджеса:
k=1+3,322∙lg92=1+6,524=7,524≈8
в) Длина интервала:
h=xmax-xmink=218-1008≈15
г) xнач=xmin-0,5∙h=100-7,5=92,5
Построим интервальный ряд:
Интервал
Частота, ni
Середина, xi
Плотность частоты, nih
Частота Накопленная частота
(92,5;107,5)
1 100 0,067 192
192
(107,5;122,5)
6 115 0,4 692
792
(122,5;137,5)
16 130 1,067 1692
2392
(137,5;152,5)
17 145 1,133 1792
4092
(152,5;167,5)
16 160 1,067 1692
5692
(167,5;182,5)
16 175 1,067 1692
7292
(182,5;197,5)
12 190 0,8 1292
8492
(197,5;212,5)
6 205 0,4 692
9092
(212,5;227,5)
2 220 0,133 292
1
Построим по данным интервальной таблице полигон частот и гистограмму частот:
Составим эмпирическую функцию распределения.
Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x
F*x=nxn
nx - число вариантов меньших X
F*x=0, x≤100192, 100<x≤115792, 115<x≤1302392, 130<x≤1451023, 145<x≤1601423, 160<x≤1751823, 175<x≤1902123, 190<x≤2054546, 205<x≤2201, x>220
Построим график эмпирической функции распределения:
Найдем несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X
xВ=1n∙i=18xi∙ni=100∙1+115∙6+130∙16+145∙17+160∙16+175∙1692+
+190∙12+205∙6+220∙292=1464592≈159,18
S2=nn-1∙1ni=18xi2∙ni-(xВ)2=9291∙(1002∙1+1152∙6+1302∙16+1452∙1792+
+1602∙16+1752∙16+1902∙12+2052∙6+2202∙292-159,182)=
=9291∙239892592-25338,27≈9291∙737≈745,1
s=S2=745,1≈27,3
Найдем интервальные оценки математического ожидания:
xВ-tγ∙sn<a<xВ+tγ∙sn
tγ найдем, исходя из того, что: 2Фtγ=γ
γ=0,9 => Фtγ=0,45
По таблице значений функции Лапласа находим:
Ф1,64=0,45 => tγ=1,64
159,18-1,64∙27,392<a<159,18+1,64∙27,392
154,51<a<163,75
γ=0,95 => Фtγ=0,475
По таблице значений функции Лапласа находим:
Ф1,96=0,45 => tγ=1,96
153,6<a<164,76
Найдем интервальные оценки среднеквадратического отклонения:
s1-q<σ<s1+q
γ=0,95 q92;0,95=0,15
27,3∙0,85<σ<27,3∙1,15
23,21<σ<31,4
По виду гистограммы выдвинем гипотезу H0 – генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами: a≈xВ=159,18, σ≈s=27,3
Вычислим теоретические частоты попадания в интервал по формуле:
ni'=pi∙n
pi=Фzi+1-Фzi
zi+1=xi+1-159,1827,3, zi=xi-159,1827,3
Составим вспомогательную расчетную таблицу:
Интервал
zi+1
zi
Фzi+1
Фzi
pi
ni'
(-∞;107,5)
-1,89 -∞
-0,4708 -0,5 0,0292 2,69
(107,5;122,5)
-1,34 -1,89 -0,41 -0,4708 0,0608 5,59
(122,5;137,5)
-0,79 -1,34 -0,2864 -0,41 0,1236 11,37
(137,5;152,5)
-0,24 -0,79 -0,0967 -0,2864 0,1897 17,45
(152,5;167,5)
0,3 -0,24 0,1197 -0,0967 0,2164 19,91
(167,5;182,5)
0,85 0,3 0,3035 0,1197 0,1838 16,91
(182,5;197,5)
1,4 0,85 0,4198 0,3035 0,1163 10,7
(197,5;212,5)
1,95 1,4 0,4746 0,4198 0,0548 5,04
(212,5;∞)
∞
1,95 0,5 0,4746 0,0254 2,34
Вычислим значение критерия:
χнабл2=i=18(ni-ni')2ni'
При этом, объединим интервалы для которых ni'<5
Интервал
ni
ni'
(ni-ni')
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
(-∞;122,5)
7 8,28 -1,28 1,6384 0,198
(122,5;137,5)
16 11,37 4,63 21,4369 1,885
(137,5;152,5)
17 17,45 -0,45 0,2025 0,012
(152,5;167,5)
16 19,91 -3,91 15,2881 0,768
(167,5;182,5)
16 16,91 -0,91 0,8281 0,049
(182,5;197,5)
12 10,7 1,3 1,69 0,158
(197,5;∞)
8 7,38 0,62 0,3844 0,052
=3,122
χнабл2=3,122
По таблице критических значений χкрит2 при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы: k=7-2-1=4,(число интервалов 7, число оцениваемых параметров нормального распределения 2) находим:
χкрит2=9,488
Так как χнабл2<χкрит2, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами: a≈xВ=159,18, σ≈s=27,3 можно принять.
Вывод:
По данным таблицы данные сгруппированы в интервальную таблицу, построена гистограмма, полигон и эмпирическая функция распределения