Известны координаты в прямоугольной системе координат Oxyz вершин пирамиды A1A2A3A4

4.1 Найдем смешанное произведение векторов А1А2, А1А3, А1А4 и объем пирамиды.
Смешанное произведение
Используем координатную форму смешанного произведения.
Пусть даны 3 вектора aa1; a2; a3, bb1; b2; b3, сс1; с2; с3 . Тогда их смешанное произведение равно:
А1А2, А1А3, А1А4=a1a2a3b1b2b3с1с2с3
Таким образом, следует найти координаты векторов А1А2, А1А3, А1А4.
Воспользуемся формулой нахождения координат вектора в пространстве по координатам его концов: М1М2b1-a1;b2-a2;b3-a3, где M1a1; a2; a3, M2b1; b2; b3.
Подставляя координаты верин, получим:
А1А2(-2;5;5), А1А3(-2;1;-1), А1А4(-5;1;5).
Тогда:
А1А2, А1А3, А1А4=-255-21-1-515=-2∙1-115-5∙-2-1-55+
+5∙-21-51=-2∙5+1-5∙-10-5+5∙-2+5=-12+75++15=78
Объем пирамиды
Согласно геометрическому смыслу смешанного произведения: модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах .
А1
А2
А3
А4
А1
А3
А4
А2
А1
А2
А3
А4
А1
А3
А4
А2
Т.е. Vпараллелепипеда=78 ед3. Выразим искомый объем пирамиды, построенной на векторах А1А2, А1А3, А1А4 через объем построенного на них параллелепипеда.
Vпирамиды=13S1h, S1 – площадь основания пирамиды, h – высота, проведенная к этому основанию.
Vпараллелепипеда=S2h, где S2 – площадь основания параллелепипеда.
Площадь треугольника в два раза меньше площади параллелограмма, до которого этот треугольник достроен