Измерялась энергия светового излучения при вспышке импульсной лампы ИФП-800

Построение гистограммы относительных частот.
Масштаб на оси Ox удобно взять так, чтобы 20 мм соответствовали 4 Дж. Просматривая элементы выборки, определяем: xmin=778,xmax=810. Образуем интервал [778;810], содержащий все элементы выборки. Положив h=4, разобьем этот интервал на 9 интервалов:
∆i:776;780,780;784,784;788,788;792,792;796,796;800,800;804,804;808,
808;812
Отметим эти интервалы на оси Ox
Выберем масштаб на оси Oy. Объем выборки n=100, длина интервала группировки h=4
C=1nh=1400=0,0025
Положим, что величине C на оси Oy соответствует 5 мм.
Возвращаемся к выборке. Перебирая последовательно все ее элементы, проводим каждый раз над интервалом ∆i черту, как только элемент попадает в этот интервал. Полученная в результате фигура является гистограммой относительных частот.
Построение группированного статистического ряда.
Составим таблицу. В первом столбце таблицы укажем номера интервалов группировки. Во втором запишем xi* - середины интервалов, в третьем ni* - частоты элементов xi*
Тем самым будет построена таблицу группированного статистического ряда.
Проверим выполнение равенства:
i ni*=6+8+10+14+21+17+11+7+6=100=n
Вычисление выборочной средней и выборочной исправленной дисперсии
Продолжая таблицу, в четвертом столбце запишем произведения xi∙ni
Вычислим выборочную среднюю по формуле:
x=1n∙xi*∙ni*=79408100=794,08
В пятом столбце запишем модуль разности xi*-x . В шестом квадрат этого модуля, в седьмом произведение: xi*-x2∙ni*
Группированный статистический ряд.
№ xi*
ni*
xi*∙ni*
xi*-x
xi*-x2
xi*-x2∙ni*
1 778 6 4668 16,08 258,57 1551,4
2 782 8 6256 12,08 145,93 1167,41
3 786 10 7860 8,08 65,29 652,86
4 790 14 11060 4,08 16,65 233,05
5 794 21 16674 0,08 0,01 0,13
6 798 17 13566 3,92 15,37 261,23
7 802 11 8822 7,92 62,73 689,99
8 806 7 5642 11,92 142,09 994,6
9 810 6 4860 15,92 253,45 1520,68

100 79408
7071,35
Исправленную выборочную дисперсию найдем по формуле:
S2=1n-1∙xi*-x2∙ni*=7071,3599≈71,43
S=S2=71,43≈8,45
Проверка гипотезы по критерию χ2
Вычислим значения:
zi=xi*-xS
Результаты занесем в таблицу.
Вычислим значения f(zi), найденные по таблице нормированной плотности:
fx=12π∙e-x22
Результаты занесем в таблицу.
Вычислим значение:
npi=nhS∙fzi, nhS=100∙48,45≈47,34
Результаты занесем в таблицу.
Вычислим значения:
ni*2npi
Результаты занесем в таблицу.
№ ni*
xi*-x
zi=xi*-xS
f(zi)
npi
ni*2
ni*2npi
1 6 16,08 1,9 0,0656 3,11 36 11,59
2 8 12,08 1,43 0,1435 6,79 64 9,42
3 10 8,08 0,96 0,2516 11,91 100 8,4
4 14 4,08 0,48 0,3555 16,83 196 11,64
5 21 0,08 0,01 0,3989 18,88 441 23,35
6 17 3,92 0,46 0,3589 16,99 289 17,01
7 11 7,92 0,94 0,2565 12,14 121 9,96
8 7 11,92 1,41 0,1476 6,99 49 7,01
9 6 15,92 1,88 0,0681 3,22 36 11,17

109,55
Вычислим значение критерия:
χβ2=ni*2npi-n=109,55-100=9,55
По таблице критических точек распределения находим χα2(k), где α=0,05, k=τ-3, τ=9 – число интервалов группировки.
χ0,0526=12,59
Так как χβ2<χ0,0526, то опытные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении исследуемой величины x с параметрами: m≈x=794,08; σ≈S=8,45
Построение графика плотности и доверительных интервалов.
Так как гипотеза о нормальном распределении не отвергнута, сравним график плотности с гистограммой относительных частот.
fx=1σ2π∙e-(x-m)22σ2=18,452π∙e-(x-794,08)22∙8,452
Построим приблизительно график плотности по точкам:
x1=m=794,08
x2,3=m±σ=794,08±8,45
x4,5=m±2σ=794,08±16,9
fx1=18,452π∙e0=18,452π≈0,047
fx2,3=18,452π∙e-12=0,60658,452π≈0,029
fx4,5=18,452π∙e-2=0,13538,452π≈0,006
x1 - точка максимума
x2,x3 – точки перегиба
Найдем доверительные интервалы для m=M(x) и σ=D(x)
Используем следующие неравенства:
x-tγ∙Sn<m<x+tγ∙Sn
S1-q<σ<S1+q
Задав надежность γ=0,95, найдем значения tγ и q по соответствующим таблицам значений:
tγ0,95;100=1,984
q0,95;100=0,143
Получаем для m:
794,08-1,984∙8,45100<m<794,08+1,984∙8,45100
792,4<m<795,76
Получаем для σ:
8,451-0,143<σ<8,451+0,143
7,24<σ<9,66