Измерялась энергия светового излучения при вспышке импульсной лампы ИФП-800, при этом были получены следующие результаты (в Дж):
795 800 787 779 799 810 784 790 795 778 801 783
797 800 788 784 800 783 798 804 779 780 789 780
792 788 794 789 796 781 804 795 790 808 787 790
792 794 779 808 801 785 796 795 798 794 792 809
779 791 800 789 805 785 787 793 781 807 782 791
795 797 806 789 793 797 799 791 809 797 798 794
800 785 793 795 783 797 798 793 802 800 795 791
789 793 786 797 803 787 799 805 793 799 795 797
806 810 779 802
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
Решение
Построение гистограммы относительных частот.
Масштаб на оси Ox удобно взять так, чтобы 20 мм соответствовали 4 Дж. Просматривая элементы выборки, определяем: xmin=778,xmax=810. Образуем интервал [778;810], содержащий все элементы выборки. Положив h=4, разобьем этот интервал на 9 интервалов:
∆i:776;780,780;784,784;788,788;792,792;796,796;800,800;804,804;808,
808;812
Отметим эти интервалы на оси Ox
Выберем масштаб на оси Oy. Объем выборки n=100, длина интервала группировки h=4
C=1nh=1400=0,0025
Положим, что величине C на оси Oy соответствует 5 мм.
Возвращаемся к выборке. Перебирая последовательно все ее элементы, проводим каждый раз над интервалом ∆i черту, как только элемент попадает в этот интервал. Полученная в результате фигура является гистограммой относительных частот.
Построение группированного статистического ряда.
Составим таблицу. В первом столбце таблицы укажем номера интервалов группировки. Во втором запишем xi* - середины интервалов, в третьем ni* - частоты элементов xi*
Тем самым будет построена таблицу группированного статистического ряда.
Проверим выполнение равенства:
i ni*=6+8+10+14+21+17+11+7+6=100=n
Вычисление выборочной средней и выборочной исправленной дисперсии
Продолжая таблицу, в четвертом столбце запишем произведения xi∙ni
Вычислим выборочную среднюю по формуле:
x=1n∙xi*∙ni*=79408100=794,08
В пятом столбце запишем модуль разности xi*-x
. В шестом квадрат этого модуля, в седьмом произведение: xi*-x2∙ni*
Группированный статистический ряд.
№ xi*
ni*
xi*∙ni*
xi*-x
xi*-x2
xi*-x2∙ni*
1 778 6 4668 16,08 258,57 1551,4
2 782 8 6256 12,08 145,93 1167,41
3 786 10 7860 8,08 65,29 652,86
4 790 14 11060 4,08 16,65 233,05
5 794 21 16674 0,08 0,01 0,13
6 798 17 13566 3,92 15,37 261,23
7 802 11 8822 7,92 62,73 689,99
8 806 7 5642 11,92 142,09 994,6
9 810 6 4860 15,92 253,45 1520,68
100 79408
7071,35
Исправленную выборочную дисперсию найдем по формуле:
S2=1n-1∙xi*-x2∙ni*=7071,3599≈71,43
S=S2=71,43≈8,45
Проверка гипотезы по критерию χ2
Вычислим значения:
zi=xi*-xS
Результаты занесем в таблицу.
Вычислим значения f(zi), найденные по таблице нормированной плотности:
fx=12π∙e-x22
Результаты занесем в таблицу.
Вычислим значение:
npi=nhS∙fzi, nhS=100∙48,45≈47,34
Результаты занесем в таблицу.
Вычислим значения:
ni*2npi
Результаты занесем в таблицу.
№ ni*
xi*-x
zi=xi*-xS
f(zi)
npi
ni*2
ni*2npi
1 6 16,08 1,9 0,0656 3,11 36 11,59
2 8 12,08 1,43 0,1435 6,79 64 9,42
3 10 8,08 0,96 0,2516 11,91 100 8,4
4 14 4,08 0,48 0,3555 16,83 196 11,64
5 21 0,08 0,01 0,3989 18,88 441 23,35
6 17 3,92 0,46 0,3589 16,99 289 17,01
7 11 7,92 0,94 0,2565 12,14 121 9,96
8 7 11,92 1,41 0,1476 6,99 49 7,01
9 6 15,92 1,88 0,0681 3,22 36 11,17
109,55
Вычислим значение критерия:
χβ2=ni*2npi-n=109,55-100=9,55
По таблице критических точек распределения находим χα2(k), где α=0,05, k=τ-3, τ=9 – число интервалов группировки.
χ0,0526=12,59
Так как χβ2<χ0,0526, то опытные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении исследуемой величины x с параметрами: m≈x=794,08; σ≈S=8,45
Построение графика плотности и доверительных интервалов.
Так как гипотеза о нормальном распределении не отвергнута, сравним график плотности с гистограммой относительных частот.
fx=1σ2π∙e-(x-m)22σ2=18,452π∙e-(x-794,08)22∙8,452
Построим приблизительно график плотности по точкам:
x1=m=794,08
x2,3=m±σ=794,08±8,45
x4,5=m±2σ=794,08±16,9
fx1=18,452π∙e0=18,452π≈0,047
fx2,3=18,452π∙e-12=0,60658,452π≈0,029
fx4,5=18,452π∙e-2=0,13538,452π≈0,006
x1 - точка максимума
x2,x3 – точки перегиба
Найдем доверительные интервалы для m=M(x) и σ=D(x)
Используем следующие неравенства:
x-tγ∙Sn<m<x+tγ∙Sn
S1-q<σ<S1+q
Задав надежность γ=0,95, найдем значения tγ и q по соответствующим таблицам значений:
tγ0,95;100=1,984
q0,95;100=0,143
Получаем для m:
794,08-1,984∙8,45100<m<794,08+1,984∙8,45100
792,4<m<795,76
Получаем для σ:
8,451-0,143<σ<8,451+0,143
7,24<σ<9,66
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
