Из генеральной совокупности извлечена выборка. Данныенаблюдений сведены в группы и представлены в виде дискретноговариационного ряда, где первая строка – середины частичных интервалов xi,вторая строка – соответствующие им частоты ni.
Требуется провести статистическую обработку экспериментальныхданных по следующей схеме:
1) Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения F*x.
2) Построить полигон и гистограмму относительных частот.
3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю ,выборочное среднее квадратическое отклонение в, исправленное среднееквадратическое отклонение S.
4) Сделать предварительный выбор закона распределения по видугистограммы и полигона относительных частот.
5) Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальномзаконе распределения генеральной совокупности при уровне значимости 0,05.
6) В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметровнормального распределения (доверительную вероятность принять равной 1 0,95.
Вычисления проводить с точностью до 0,001.
xi -2 0 2 4 6 8 10 12
ni
1 5 9 12 21 30 16 6
Решение
1)-2) Таблица для расчета показателей.
xi Кол-во, ni
xi·ni
Накопленная частота, S |x-xср|·ni
(x-xср)2·ni Относительная частота, ni/n
-2 1 -2 1 8.62 74.304 0.01
0 5 0 6 33.1 219.122 0.05
2 9 18 15 41.58 192.1 0.09
4 12 48 27 31.44 82.373 0.12
6 21 126 48 13.02 8.072 0.21
8 30 240 78 41.4 57.132 0.3
10 16 160 94 54.08 182.79 0.16
12 6 72 100 32.28 173.666 0.06
Итого
100 662
255.52 989.56 1
3) Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная (выборочная средняя)
EQ \x\to(x) = \f(∑xi·ni;∑ni) = \f(662;100) = 6.62
Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = xmax - xmin = 12 - (-2) = 14
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
EQ D = \f(∑(xi - \x\to(x))2 ni;∑ni) = \f(989.56;100) = 9.896
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
EQ S2 = \f(∑(xi - \x\to(x))2·ni;∑ni-1) = \f(989.56;99) = EQ 9.996
Среднее квадратическое отклонение.
EQ σ = \r(D) = \r(9.896) = 3.146
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 6.62 в среднем на 3.146
Оценка среднеквадратического отклонения.
EQ s = \r(S2 ) = \r(9.996) = 3.162.
4) По виду полигона и гистограммы относительных частот можно сделать предположение о нормальном законе распределения СВ Х.
5) Проверка гипотезы о виде распределения
.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
EQ K = ∑\f((ni - ni·)2;ni·)
где n*i - теоретические частоты:
EQ ni· = \f(N·h;σ)φi
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:
N = 100, h=2 (ширина интервала), σ = 3.146, xср = 6.62
EQ ni· = \f(100 · 2;3.146)φi = 63.58φi
i
xi ui
φi
ni*
1 -2 -2.7402 0,0091 0.579
2 0 -2.1044 0,0431 2.74
3 2 -1.4687 0,1354 8.609
4 4 -0.8329 0,2803 17.821
5 6 -0.1971 0,391 24.859
6 8 0.4387 0,3621 23.022
7 10 1.0745 0,2227 14.159
8 12 1.7103 0,0909 5.779
Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:
EQ χ2 = ∑\f((ni - ni·)2;n·i)
i
ni
n*i
ni-ni* (ni-ni*)2 (ni-ni*)2/ni*
1 1 0.5786 -0.4214 0.1776 0.307
2 5 2.7402 -2.2598 5.1066 1.864
3 9 8.6085 -0.3915 0.1533 0.0178
4 12 17.821 5.821 33.884 1.901
5 21 24.8591 3.8591 14.8928 0.599
6 30 23.0217 -6.9783 48.6966 2.115
7 16 14.1589 -1.8411 3.3897 0.239
8 6 5.7793 -0.2207 0.04872 0.00843
∑ 100 100 7.052
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
