Исследовать сходимость числового ряда n=1∞n+52nn

Сначала проверим выполняется ли для данного ряда необходимый признак сходимости. Для этого рассмотрим предел общего члена ряда при n→∞, если равен 0, то ряд может быть сходящимся.
limn→∞n+52nn=n+52n→12=limn→∞12n=0.
Теперь используем радикальный признак Коши для исследования ряда на сходимость:
limn→∞nn+52nn=limn→∞n+52nnn=limn→∞n+52n=n+52n→12=12.
Так как предел меньше 1, то согласно радикальному признаку Коши, исходный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится согласно радикальному признаку Коши.