Исследовать на сходимость числовые ряды n=1∞arctg5nn!

Воспользуемся признаком Даламбера, выпишем n-й и (n+1)-й члены ряда:
an=arctg5nn!
Тогда:
an+1=arctg5n+1n+1!
Вычислим предел:
l=limn→∞an+1an=limn→∞arctg5n+1n+1!arctg5nn!=limn→∞n!n+1!*arctg5n+1arctg5n=limn→∞1n+1*5n+1*n5=limn→∞nn+12=0<1
Так как величина данного предела меньше единицы, делаем вывод, что исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
Ответ: Сходится