Исследовать на сходимость – а) б) – найти интервал сходимости функционального ряда

А) n=1∞(-1)n-1n∙5n
1) n=1∞(-1)n-1n∙5n=15-150+1375-12500+… - ряж является знакочередующимся.
2) limx→+∞an=limx→+∞(-1)n-1n∙5n=limx→+∞1n∙5n=1∞=0 – члены ряда убывают по модулю. Найдем модуль n+1-го члена ряда: an+1=1(n+1)∙5n+1. Для любого номера n справедливо неравенство:
1n∙5n<1n+1∙5n+1 an+1<an,
то есть члены убывают монотонно. Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем характер сходимости:
n=1∞(-1)n-1n∙5n=n=1∞1n∙5n.
Используем признак Даламбера:
limn→+∞an+1an=limn→+∞1n+1∙5n+11n∙5n=15limn→+∞nn+1=15<1.
Таким образом, ряд n=1∞an сходится.
Ряд n=1∞(-1)n-1n∙5n сходится абсолютно .
б) n=1∞(x+5)2n-14n(2n-1)
Воспользуемся признаком Даламбера.
limn→∞(x+5)2(n+1)-14n+1(2(n+1)-1)(x+5)2n-14n(2n-1)=(x+5)24∙limn→∞2n-12n+1=x+524∙1<1⟹x+52<4⟹-7<x<-3.
Проверяем сходимость ряда на концах интервала