Исследовать на непрерывность и построить график функции

Все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах. Поэтому функция может терпеть разрыв лишь в точках, в которых она меняет свое аналитическое выражение, то есть в точках x=0 и x=2.
Исследуем на непрерывность точку x=0 . Найдем односторонние пределы в заданной точке. Слева от точки x=0 функция fx=arctgx, справа fx=0, поэтому
limx→0-0fx=limx→0-0arctgx=arctg(0-0)=0
limx→0+0fx=limx→0+00=0
Значение функции в данной точке f0=0.
Односторонние пределы конечны и равны, значит, функция  непрерывна в точке x=0.
Исследуем на непрерывность точку x=2