Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

Проверим наличие аномальных наблюдений.
Проверим наличие аномальных наблюдений с помощью критерия Ирвина:
Рассчитываем коэффициенты анормальности наблюдений (критерий Ирвина): 
, ,
Если превышает табличное значение, то уровень считается аномальным и такие наблюдения нужно исключить из временного ряда и заменить их расчетными значениями (например, среднее из соседних значений). Рассчитаем коэффициенты критерия Ирвина:
, ,
Табличное значение критерия Ирвина при , .
Так как все значения критерия Ирвина не превышают табличное значение, значит, уровни считаются не аномальным и их не следует удалить из рассмотрения.
Построить линейную модель Y(t) = a0 + a1t, параметры которой оценить
МНК (Y(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда):
использованием Поиска решений:
Построим линейную модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:
Выберите команду Сервис Анализ данных.
В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем щелкните на кнопке ОК.
В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введите адрес диапазона, который содержат значения независимой переменной t Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.
Выберите параметры вывода. В данном примере Новая рабочая книга.
В поле График подбора поставьте флажок.
В поле Остатки поставьте необходимые флажки и нажмите кнопку ОК.
Результат регрессионного анализа содержится в нижеприведенных таблицах (табл. 1 и 0)
Таблица 1
Переменная Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
Y-пересечение a0 -2304,227273 779,2925332 -2,95681939
t a1 2098,188811 105,8850046 19,81573141
Таблица 2.
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 -206,0384615 2243,038462
2 1892,15035 813,8496503
3 3990,339161 -223,3391608
4 6088,527972 -1041,527972
5 8186,716783 -1870,716783
6 10284,90559 -1189,905594
7 12383,09441 -1187,094406
8 14481,28322 -463,2832168
9 16579,47203 1267,527972
10 18677,66084 755,3391608
11 20775,84965 240,1503497
12 22874,03846 655,9615385
Во втором столбце табл. 1 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1.
Кривая роста зависимости объемов платных услуг на душу населения имеет вид:
.
При увеличении времени t на 1 год объем платных услуг на душу населения увеличивается в среднем на 2098,19 руб.
Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Выполнение предпосылок МНК может проверяться с помощью R/Sкритерия
,
где  соответственно наибольший и наименьший остатки с учетом знака; 
среднее квадратическое (стандартное) отклонение ряда остатков:
.
Остатки признаются нормально распределенными, если .
где критические границы  и числа наблюдений-критерия для принятого уровня значимости  .
Значения остатков регрессии были получены в EXCEL при проведении регрессионного анализа . Наибольший и наименьший остатки составляют: . Среднее квадратическое отклонение остатков равно
,
а  критерий
Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
4) Оценить точность модели с помощью средней относительной ошибки
аппроксимации.
Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации
Таблица 3.
Номер
наблюдения
1 2037 2243,038462 1,101
2 2706 813,8496503 0,301
3 3767 -223,3391608 0,059
4 5047 -1041,527972 0,206
5 6316 -1870,716783 0,296
6 9095 -1189,905594 0,131
7 11196 -1187,094406 0,106
8 14018 -463,2832168 0,033
9 17847 1267,527972 0,071
10 19433 755,3391608 0,039
11 21016 240,1503497 0,011
12 23530 655,9615385 0,028
- удовлетворительный уровень точности модели.
5) Осуществить прогноз спроса на следующий год (доверительный
интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора :

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости α = 0,3, следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при = n –2 =10 равен 1,093. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
,
где =1266,2 = 1,093, , ,
.
Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза.
Верхняя граница = Нижняя граница =
Таблица 4.
Прогноз Нижняя граница Верхняя граница
13 U1=1625,15 24972,23 23347,074 26597,381
Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.
Составить уравнения нелинейной регрессии (гиперболической; степенной; показательной). По каждой модели необходимо: привести графики построенных уравнений регрессии; найти средние относительные ошибки аппроксимации, коэффициенты детерминации и коэффициенты эластичности. По этим характеристикам сравнить нелинейные модели между собой и сделать вывод.
Построим гиперболическую регрессионную модель зависимости среднедневной заработной платы от среднедушевого прожиточного минимума:
Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид , где – наблюдаемые значения (оценки) ошибок , и соответственно оценки параметров и регрессионной модели, которые следует найти