Исследование движения механической системы с применением теоремы об изменении кинетической энергии

Предположим, что во время движения системы диск 1 вращается против хода часовой стрелки. Угловые скорости 1 и 2 дисков 1 и 2 и скорость центра масс диска 2 показаны на рис. 5.1
Рисунок 5.1- Расчетная схема для исследования движения системы
На диск 1 действуют силы: F1, сила тяжести P1 и реакция шарнира O1 , разложенная на составляющие X1, Y1, пара сил с моментом М. На диск 2: сила F2, сила тяжести P2, нормальная реакция опоры N и сила сцепления диска 2 с поверхностью Fсц . Направления действия сил показаны на рис. 5.1.
Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. По условию задачи рассматриваемая система неизменяемая и, следовательно, сумма мощностей внутренних сил равна нулю. В этом случае теорема об изменении кинетической энергии системы принимает вид
dTdt=N(Fке),
где Т – энергия системы в текущем положении;
N(Fке)– суммарная мощность внешних сил.
Кинематический анализ механизма
Ступенчатый диск 1 вращается с угловой скоростью ω1 .
Однородный диск 2 движется поступательно со скоростью V2 и вращается с угловой скоростью ω2.
Найдём кинетическую энергию системы и выразим её через скорость центра масс диска V2
У диска 2 мгновенный центр скоростей находится в точке касания его с неподвижной поверхностью (точка К на рис. 5.1). Тогда угловая скорость однородного диска 2 равна
ω2=V2r
Так как нет проскальзывания между стержнем и дисками, скорость точки А на диске 2 равна скорости точки В на диске 1,
VB=ω2∙2r=2V2
Приравнивая скорости VB VA
ω1=VAr=2V2r
Кинетическая энергия диска 1:
T1=J1∙ω122
J1– осевой момент инерции диска 1,
J1=m1∙iz2=P1∙iz2g
m1=P1g
T1=P1∙iz2∙ω122g=P1∙iz2∙4V222g∙r2=22∙42∙9,81V220,420,22=17,94∙V22
Кинетическая энергия диска 2:
T2=m2∙V222+J2∙ω222
J1– осевой момент инерции диска 1,
J2=m2∙r22=P22g∙r2
m2=P2g
T2=P2∙V222g+P22g∙r2∙V2r22=3P2∙V224g=3∙20∙V224∙9,81
=1,53∙V22
T=T1+T2=19,47∙V22
Производная по времени от кинетической энергии системы
dTdt=38,94∙V2∙dV2dt=38,94∙V2∙a2
Найдем сумму мощностей внешних сил
Мощности силы тяжести P1 равны нулю, эта сила приложена к неподвижной точке.
Мощности сил N1 и Fсц1 – нормальной реакции опоры диска 1 и силы сцепления диска с плоскостью также равны нулю, так как точкой приложения этих сил является мгновенный центр скоростей диска 1, скорость которого равна нулю.
Мощность силы тяжести P2 равна
NP2=-P2∙sinβ∙V2
Мощности сил N2 и Fсц2 – нормальной реакции опоры диска 2 и силы сцепления диска с плоскостью также равны нулю, так как точкой приложения этих сил является мгновенный центр скоростей диска 2, скорость которого равна нулю.
Мощность силы F1 равна
NF1=F1∙R∙sinβ∙ω1=F1∙R∙sinβ∙2V2r
Мощность момента равна
NМ=M∙ω1=M∙2V2r
Для определения мощности силы F2, приложенной к диску 2, воспользуемся формулой расчета мощности силы при плоскопараллельном движении тела