Интегрирование дифференциальных уравнений движения
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Интегрирование дифференциальных уравнений движения
материальной точки, находящиеся под действием постоянных сил
Тело движется из точки A по участку AB (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течении τ с. Его начальная скорость VA. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. В точке B тело покидает плоскость со скоростью VB, описывая траекторию y=f(x) и попадает в точку C плоскости BC со скоростью VC, находясь в полете T с.
Исходные данные и параметры, которые требуется определить, взять из табл. 3.2 и рис. 3.8. Считать 30° и 60° . При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Исходные данные
Вариант Дано: Найти:
h,м
d,м
l,м
f
τ, с
T, с
1 2,0
-
2,0
0,10
-
1,5
y=f(x)
VC
d
177805579745α
d
y1
x1
y
x
h
x1
G
G
V
V
N
A
B
C
β
VB
Fтр.
00α
d
y1
x1
y
x
h
x1
G
G
V
V
N
A
B
C
β
VB
Fтр.
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
y=fx=1,79t-4,91t2. d=4,65 м. VC=13,30 мс.
Решение
При движении материальной точки от A к C, силы различны на участках AB и BC, разделим траекторию движения точки на части и рассмотрим ее движение на участке AB, под действием сил: силы тяжести G mg, силы трения , Fтр нормальной реакции опоры N.
На участке BC на тело действует только сила тяжести G mg.
1. Движение тела на участке AB:
mx1=X1i=-Gsinα-Fтр
Сила трения
Fтр=fN=fmgcosα
mx1=-mgsinα-fmgcosα
x1=-gsinα-fgcosα.
Интегрируем:
x1=-sinα+fcosαgt+C1
C1находим из начальных условий. В задании ничего не сказано про начальную скорость. Предположим, телу в точке A толчком сообщено начальную скорость VA=6 мс. Тогда при t=0: x10=VA=6мс
. Получим:
C1=x10=VA=6мс.
x1=-sinα+fcosαgt+VA. (1)
Интегрируем еще раз:
x1=-sinα+fcosαg2t2+VAt+C2.
Значение C2также находим из начальных условий. Так как начало координат системы Ax1y1 поместили в начальной точке движения тела, то при t=0: x10=0. Тогда C2=0, и уравнение движения тела на участке AB примет вид
x1=-sinα+fcosαg2t2+VAt.
Определим время τ.
x1τ=l=-sinα+fcosαg2τ2+VAτ
Получили квадратное уравнение относительно τ. Подставим все числовые значения и решим его.
sinα+fcosαg2τ2-VAτ+l=0;
0,5+0,1∙0,866∙9,812τ2-6τ+2=0;
2,88τ2-6τ+2=0;
τ=6±62-4*2,88*22∙2,88=6±3,62∙2,88.
τ1=1,67 с.
τ2=0,42 с.
Подставляя полученные значения τ в (1), получим скорость тела в точке B.
x1τ1=VB=-sinα+fcosαgτ1+VA==6-0,5+0,1∙0,866∙9,81∙1,67=-3,61 мс.
Какой физический смысл имеет отрицательное значение VB? Если бы плоскость AB не закончилась в точке B, а продолжалась дальше, то за время τ1 тело поднималась бы по этой плоскости до остановки, вернулся бы в точку B со скоростью 3,61 мс, направленной вниз по плоскости BA.
Берем второе значение
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
