Интегральное исчисление функции одной переменной

Применим подстановку Бернулли
И исходное уравнение примет вид
Выберем функцию v(x) такой, чтобы обратилась в ноль скобка, то есть чтобы
Очевидно, что получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. В качестве функции v(x) можно выбрать любое частное решение.
Затем из уравнения найдем u(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 + r - 6 = 0
D=12 - 4·1·(-6)=25
Корни характеристического уравнения – действительные числа не равные между собой:
r1 = 2
r2 = -3
Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = x2-1
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x2-1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
уч.н = Ax2 + Bx + C
Вычисляем производные:
y' = 2·A·x+B
y'' = 2·A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + y' -6y = (2·A) + (2·A·x+B) -6(Ax2 + Bx + C) = x2-1
или
-6·A·x2+2·A·x+2·A-6·B·x+B-6·C = x2-1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
x2: -6A = 1
x: 2A -6B = 0
1: 2A + B -6C = -1
Решая ее, находим:
A = -1/6; B = -1/18; C = 11/108;
Частное решение имеет вид:
уч.н =-1/6x2 -1/18x + 11/108
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 1
Находим первую производную:
y' = 2·c1·e2·x-3·c2·e-3·x-x/3-1/18
Поскольку y(0) = c1+c2+11/108, то получаем первое уравнение:
c1+c2+11/108 = 0
Поскольку y'(0) = 2*c1-3*c2-1/18, то получаем второе уравнение:
2·c1-3·c2-1/18 = 1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе уравнение.
Откуда
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: