Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течении апреля-мая на единицу продукции составили: платья – A = 15 денежных единиц, костюмы – B = 42 ден. ед. Цена реализации составит C = 28 ден. ед. и D = 115 ден. ед. соответственно.
По данным наблюдений за несколько предыдущих лет фирма может реализовать в условиях теплой погоды E = 1460 штук платьев и K = 570 штук костюмов, при прохладной погоде – M = 470 штук платьев и N = 980 штук костюмов.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальную прибыль.
Составить матричную игру, решить её в смешанных стратегиях и с использованием критериев природы. Степень оптимизма α = 0,5.
Решение
I. Составление матричной игры.
Фирма располагает двумя стратегиями:
A1 – при выпуске продукции фирма ориентируется на то, что будет теплая погода;
A2 – при выпуске продукции фирма ориентируется на то, что будет прохладная погода.
Если фирма примет стратегию A1 и погода в действительности окажется теплой (стратегия природы B1), то выпущенная продукция (E = 1460 штук платьев и K = 570 штук костюмов) будет реализована полностью и прибыль будет равна
П1 = 1460·(28 – 15) + 570·(115 – 42) = 60590 ден. ед.
Если фирма примет стратегию A1, но погода в действительности окажется прохладной (стратегия природы B2), то выпущенная продукция (E = 1460 штук платьев и K = 570 штук костюмов) будет реализована частично (M = 470 штук платьев и K = 570 штук костюмов). Не будут реализованы E – M = 1460 – 470 = 990 штук платьев, что составит убытки. Поэтому прибыль будет равна
П2 = 470·(28 – 15) + 570·(115 – 42) – 990·15 = 32870 ден. ед.
Если фирма примет стратегию A2 и погода в действительности окажется прохладной (стратегия природы B2), то выпущенная продукция (M = 470 штук платьев и N = 980 штук костюмов) будет реализована полностью и прибыль будет равна
П3 = 470·(28 – 15) + 980·(115 – 42) = 77650 ден. ед.
Если фирма примет стратегию A2, но погода в действительности окажется теплой (стратегия природы B1), то выпущенная продукция (M = 470 штук платьев и N = 980 штук костюмов) будет реализована частично (M = 470 штук платьев и K = 570 штук костюмов). Не будут реализованы
N – K = 980 – 570 = 410 штук костюмов, что составит убытки. Поэтому прибыль будет равна
П4 = 470·(28 – 15) + 570·(115 – 42) – 410·42 = 30500 ден. ед.
Рассматривая фирму и погоду в качестве первого и второго игроков (игроков A и B), получим матрицу игры в виде следующей таблицы:
B1 B2
A1 60590 32870
A2 30500 77650
Предварительно проверим, существуют ли в платежной матрице седловые точки. Если они есть, то все стратегии, не входящие в седловые точки, будут являться доминируемыми.
Найдем минимальное число в каждой строке (α1 = 32870; α2 = 30500), а затем нижнюю цену игры: α = max(αi) = max(32870, 30500) = 32870.
Найдем максимальное число в каждом столбце (β1 = 60590; β2 = 77650), а затем верхнюю цену игры: β = min(βj) = min(60590, 77650) = 60590.
Цена игры лежит в диапазоне 32870 ≤ v ≤ 60590
. Это значит, что если фирма будет ориентироваться только на теплую погоду (стратегия A1), то при любой погоде прибыль фирмы будет не меньше 32870 ден. ед., но если погода действительно будет только теплой, то прибыль фирмы может составить 60590 ден. ед.
Дополнительный анализ платежной матрицы показывает, что если фирма будет ориентироваться только на прохладную погоду (стратегия A2) и погода действительно будет только прохладной, то прибыль фирмы может достигнуть 77650 ден. ед. Это говорит о том, что при удачном чередовании своих стратегий фирмы может добиться прибыли большей, чем верхняя цена игры, то есть больше, чем 60590 ден. ед.
II. Решение матричной игры в смешанных стратегиях.
Поскольку нижняя и верхняя цены игры не совпадают, то чистая цена игры не определена, седловая точка отсутствует. Решение игры в чистых стратегиях отсутствует. Следовательно, для данной игры “2 x 2” обе чистые стратегии обоих игроков являются активными и выбираются с положительными вероятностями. Иначе говоря, существует решение игры в смешанных стратегиях. Ищем его аналитическим методом.
Используем обозначения:
а) цена игры v (средние выигрыш игрока A и проигрыш игрока B);
б) (p1 p2)T – вероятности выбора игроком A своих стратегий A1 и A2.
Составляем и решаем систему уравнений для смешанных стратегий игрока A:
а) 60590·p1 + 30500·p2 = v – математическое ожидание (среднее значение) выигрыша игрока A при условии, что игрок B следует стратегии B1;
б) 32870·p1 + 77650·p2 = v – математическое ожидание (среднее значение) выигрыша игрока A при условии, что игрок B следует стратегии B2;
в) получаем систему уравнений:
60590·p1 + 30500·p2 = v;
32870·p1 + 77650·p2 = v;
p1 + p2 = 1;
г) применяя известные методы, получаем решение системы: p1 = 73/116; p2 = 43/116; v = 49436,02 ден. ед.
Оптимальная смешанная стратегия игрока A: P = (73/116; 43/116).
Это значит, что оптимальная стратегия игрока A состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии A1 и A2 случайным образом, выбирая каждую из них с вероятностями p1 = 73/116 и p2 = 43/116
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
