Исследовать функцию на экстремум и вычислить производную этой функции в точке M

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=y=const=x32+xy+y23x'=3x22+y
∂z∂y=x=const=x32+xy+y23x'=x+2y3
3x22+y=0x+2y3=0 3x22-3x2=0y=-3x2 => x=0y=0 ˅ x=1y=-32
Получили критические точки:
M10;0, M21;-32
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=3x22+yx'=3x
∂2z∂y2=x+2y3y'=23
∂2z∂x∂y=x+2y3x'=1
Вычислим значение частных производных второго порядка в критических точках:
A=∂2z∂x2M1=0 C=∂2z∂y2M1=23 B=∂2z∂x∂yM1=1
Вычислим значение выражения:
AC-B2=-1
Так как AC-B2<0 то в точке M1 экстремума нет
A=∂2z∂x2M2=3 C=∂2z∂y2M2=23 B=∂2z∂x∂yM2=1
Вычислим значение выражения:
AC-B2=2-1=1
Так как AC-B2>0 и A>0 то в точке M2 имеется минимум
zmin=zM2=12-32+34=-14
Вектор градиента равен:
grad z=∂z∂xi+∂z∂yj=3x22+yi+x+2y3j
Тогда вектор градиента в точке M(0;3):
grad zM=3i+2j
Найдем производную функции по направлению вектора l
∂z∂l(M)=∂z∂x(M)cosα+∂z∂y(M)cosβ
cosα=lxl=332+42=35 cosβ=lyl=432+42=45
∂z∂lM=3∙35+2∙45=175