Фирма производит два вида изделий используя три вида ресурсов

Составим математическую модель задачи:
Введем переменные задачи:
х1- нормативы затрат изделия 1;
х2- нормативы затрат изделия 2.
Составим систему ограничений:
x1+4x2≤102 (1)4x1+5x2≤155 (2)5x1+5x2≤175 (3)x1, x2≥0
Зададим целевую фукцию:
F(x)=21x1+29x2→max
Построим область допустимых решений
Для этого в прямоугольной системе координат построим прямую L1: x1+4x2=102, соответствующую ограничению (1). Для этого найдем координаты двух точек, принадлежащих данной прямой. Полагаем x1=0, тогда x2 = 25,5; возьмем x2 = 0, получаем x1=102. Получили координаты двух точек (102, 0) и (0, 25,5).
Определим, какая из двух полуплоскостей, на которые эта прямая делит всю координатную плоскость, является областью решений неравенства (1). Для этого подставим, например, координаты точки (0; 0), не лежащей на прямой L1, в данное ограничение:
0 + 4·0 ≤ 102. Получаем 0 ≤ 102, неравенство верное, следовательно точка (0; 0) лежит в полуплоскости решений. Данная полуплоскость находится ниже прямой L1 (рис.1).
Рис.1.
Аналогично строим прямую L2: 4x1+5x2 =155, соответствующую ограничению (2) , находим полуплоскость решений. Подставим координаты точки (0; 0), не лежащей на прямой L2, в данное ограничение: 4∙0+5∙0≤155, получили верное неравенство, следовательно эта точка (0; 0), лежит в области решений (на рисунке ниже прямой L2). (рис. 2).
Рис.2
Строим прямую L3: 5x1 + 5x2 = 175, соответствующую ограничению (3), находим полуплоскость решений. Подставим координаты точки (0; 0), не лежащей на прямой L3, в данное ограничение: 5∙0+5∙0≤175, получили верное неравенство, следовательно эта точка (0; 0), лежит в области решений (на рисунке ниже прямой L3). (рис. 3).
Рис.3
Построим нормаль линий уровня c=(21;29) и одну из линий, например 21x1 + 29x2 = 0.
Так как решается задача на нахождение максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали (рис.4)
Рис.4
Видим, что последней точкой нашей области решений является точка пересечения прямых L1 и L2.
Решим соответствующую систему уравнений
x1+4x2=1024x1+5x2=155→x1=102-4x24∙(102-4x2)+5x2=155→x1=102-4x2408-16x2+5x2=155→x1=102-4x2-11x2=-253→x1=102-4x2x2=23→x1=10x2=23
Таким образом, оптимальным планом в задаче фирмы будет выпуск 10 единиц изделия А и 23 единиц изделия В .
Находим F(X) = 21·10 + 29·23 = 877.
Построим двойственную задачу к задаче фирмы.
F(x)=21x1+29x2→max
u1↔x1+4x2≤102 1u2↔4x1+5x2≤155 (2)u3↔5x1+5x2≤175 (3)x1, x2≥0
Таким образом, двойственная задача имеет следующий вид:
Zu=102u1+155u2+175u3→minx1↔u1+4u2+5u3≥21x2↔4u1+5u2+5u3≥29u1≥0, u2≥0, u3≥0
Так как прямая задача имеет оптимальное решение, то по первой теореме двойственности двойственная задача также имеет оптимальное решение u*. Для его нахождения используем соотношения дополняющей нежесткости:
u1*102-x1*-4x2*=0,u2*155-4x1*-5x2*=0,u3*175-5x1*-5x2*=0,x1*u1*+4u2*+5u3*-21=0,x2*4u1*+5u2*+5u3*-29=0
Подставим оптимальные значения переменных прямой задачи x1*=10, x2*=23 в левые части ее ограничений:
x1+4x2=102,4x1+5x2=155,5x1+5x2=165
Таким образом, ограничения по сырью и оборудованию выполняются как равенства, т.е. эти ресурсы в оптимальном плане используются полностью. Третье ограничение по труду является строгим неравенством (165 < 175), т.е. этот ресурс имеется в избытке. Из третьего соотношения дополняющей нежесткости следует, что u3175-165=10u3=0, т.е. u3=0. Итак, оптимальное значение двойственной переменной, соответствующей ограничению по труду равно нулю.
Поскольку оптимальные значения переменных прямой задачи положительны, то оба соотношения двойственной задачи выполняются как равенства, т.е.
x1*>0→u1*+4u2*+5u3*=21x2*>0→4u1*+5u2*+5u3*=29
Так как u3=0, то для нахождения оптимальных значений оставшихся переменных двойственной задачи достаточно решить систему уравнений:
u1*+4u2*=214u1*+5u2*=29
Её решение таково u1*=1, u2*=5