F(x y)=x2-xy+y2+9x-6y+20. Нахождение экстремума функции и определение его типа

На первом шаге нужно отыскать стационарные точки. Для этого найдем частные производные 1-го порядка:
fx'=2x-y+9
fy'=-x+2y-6
Проконтролируем:
fxy''=(2x-y+9)y'=-1
fyx''=(-x+2y-6)x'=-1
Получаем систему уравнений:
fx'=0fy'=0⟹2x-y+9=0-x+2y-6=0
В данном случае получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными . Из 2-го уравнения выражаем x:
x=2y-6
Из подставляем в 1-у уравнение
2(2y-6)-y+9=4y-12-y+9=3y-3, откуда y =1.
Найдем x:
x=2y-6=2-6=-4
Стационарной (критической) точкой является M0(-4,1).
Теперь необходимо вычислить частные производные 2-го порядка в точке M0(-4,1).
Для компактности обычно используют следующие обозначения:
A=fxx''(M0); B=fxy''(M0); C=fyy''(M0)
Если AC-B2>0, то функция f(x,y) имеет экстремум в точке M0, причем, если A > 0, то это минимум, а если A < 0 – то максимум.
В нашем примере все частные производные 2-го порядка равны константам:
fxx''=(2x-y+9)x'=2; fxy''=(2x-y+9)xy'=-1;fyy''=(-x+2y-6)yy'=2
А значит, соответствующим константам они равны и в точке M0(-4,1):
A=fxx''(M0)=2; B=fxy''(M0)=-1; C=fyy''(M0)=2
Таким образом, AC-B2=3 и A>0, значит это минимум.
Найдем минимум функции:
f(-4, 1)=16+4+1-36-6+20=-1
Ответ