Двумерная дискретная случайная величина X

Законы распределения составляющих X и Y.
Чтобы найти законы распределения составляющих X и Y просуммируем строки и столбцы
X,Y
1 2 3 PX=xi
-1 0,13 0,13 0,15 0,41
2 0,05 0,13 0,11 0,29
3 0,15 0,09 0,06 0,3
PY=yi
0,33 0,35 0,32 1
Запишем законы распределения составляющих X и Y в виде отдельных таблиц
X
-1 2 3
Y
1 2 3
P
0,41 0,29 0,3
P
0,33 0,35 0,32
условный закон распределения Y при X=x2.
Для отыскания условного закона распределения Y при X=2 воспользуемся формулой
PY=yiX=2=PY=yi и X=2PX=2
Тогда
PY=1X=2=0,050,29≈0,1724
PY=2X=2=0,130,29≈0,4483
PY=3X=2=0,110,29≈0,3793
Таким образом,
Y
1 2 3
PY=yiX=2
0,1724 0,4483 0,3793
закон распределения случайной величины Y+X.
Найдем закон распределения случайной величины Y+X.
PX+Y=0=PX=-1и Y=1=0,13
PX+Y=1=PX=-1 и Y=2=0,13
PX+Y=2=PX=-1 и Y=3=0,15
PX+Y=3=PX=2 и Y=1=0,05
PX+Y=4=PX=2 и Y=2 или X=3 и Y=1 =PX=2 и Y=2+PX=3 и Y=1=0,13+0,15=0,28
PX+Y=5=PX=2 и Y=3 или X=3 и Y=2 =PX=2 и Y=3+PX=3 и Y=2=0,11+0,09=0,2
PX+Y=6=PX=3 и Y=3=0,06
Таким образом,
Y+X
0 1 2 3 4 5 6
P
0,13 0,13 0,15 0,05 0,28 0,2 0,06
закон распределения случайной величины Y∙X.
Найдем закон распределения случайной величины Y∙X.
PX∙Y=-3=PX=-1 и Y=3=0,15
PX∙Y=-2=PX=-1 и Y=2=0,13
PX∙Y=-1=PX=-1 и Y=1=0,13
PX∙Y=2=PX=2 и Y=1=0,05
PX∙Y=3=PX=3 и Y=1=0,15
PX∙Y=4=PX=2 и Y=2=0,13
PX∙Y=6=PX=3 и Y=2 или X=2 и Y=3=PX=3 и Y=2+PX=2 и Y=3=0,09+0,11=0,2
PX∙Y=9=PX=3 и Y=3=0,06
Таким образом,
Y∙X
-3 -2 -1 2 3 4 6 9
P
0,15 0,13 0,13 0,05 0,15 0,13 0,2 0,06
математические ожидания случайных величин X, Y, Y+X и Y∙X
Найдем математическое ожидание X.
X
-1 2 3
P
0,41 0,29 0,3
MX=-1∙0,41+2∙0,29+3∙0,3=1,07
Найдем математическое ожидание Y.
Y
1 2 3
P
0,33 0,35 0,32
MY=1∙0,33+2∙0,35+3∙0,32=1,99
Найдем математическое ожидание Y+X.
Y+X
0 1 2 3 4 5 6
P
0,13 0,13 0,15 0,05 0,28 0,2 0,06
MX+Y=0∙0,13+1∙0,13+2∙0,15+3∙0,05+4∙0,28+5∙0,2+6∙0,06=3,06
Найдем математическое ожидание Y∙X.
Y∙X
-3 -2 -1 2 3 4 6 9
P
0,15 0,13 0,13 0,05 0,15 0,13 0,2 0,06
MY∙X=-3∙0,15+-2∙0,13+-1∙0,13+2∙0,05+3∙0,15+4∙0,13+6∙0,2+9∙0,06=1,97
дисперсии случайных величин X, Y, Y+X и Y∙X
Найдем дисперсии случайных величин X, Y, Y+X и Y∙X, для чего необходимо найти законы распределения квадратов этих случайных величин и вычислить их математические ожидания.
X2
1 4 9
P
0,41 0,29 0,3
MX2=1∙0,41+4∙0,29+9∙0,3=4,27
Y2
1 4 9
P
0,33 0,35 0,32
MY2=1∙0,33+4∙0,35+9∙0,32=4,61
Y+X2
0 1 4 9 16 25 36
P
0,13 0,13 0,15 0,05 0,28 0,2 0,06
MY+X2=0∙0,13+1∙0,13+4∙0,15+9∙0,05+16∙0,28+25∙0,2+36∙0,06=12,82
Y∙X2
1 4 9 16 36 81
P
0,13 0,18 0,3 0,13 0,2 0,06
MY∙X2=1∙0,13+4∙0,18+9∙0,3+16∙0,13+36∙0,2+81∙0,06=17,69
Таким образом,
DX=MX2-MX2=4,27-1,072=3,1251
DY=MY2-MY2=4,61-1,992=0,6499
DY+X=MY+X2-MY+X2=12,82-3,062=3,4564
DY∙X=MY∙X2-MY∙X2=17,69-1,972=13,8091
СКО случайных величин X, Y, Y+X и Y∙X.
σX=DX=3,1251≈1,7678
σY=DY=0,6499≈0,8062
σY+X=DY+X=3,4564≈1,8591
σY∙X=DY∙X=13,8091≈3,7161
коэффициент ковариации случайных величин X и Y.
covX, Y=MX∙Y-MX∙MY=1,97-1,07∙1,99=-0,1593
коэффициент корреляции случайных величин X и Y