Для объяснения продажной цены двухкомнатных квартир (price) в одном из округов некоего мегаполиса из всех таких квартир, проданных в течение одного и того же года, случайным образом были отобраны 51 квартира. По каждой сделке были получены значения следующих показателей:
price – цена квартиры в млн. рублей,
totsp – общая площадь квартиры в кв.м.,
livsp – жилая площадь квартиры в кв. м.,
nonlivsp –нежилая площадь квартиры в кв. м., (totsp= livsp+nonlivsp),
brick – переменная равна 1, если дом кирпичный или монолитный, и равна 0 иначе.
Были рассчитаны коэффициенты корреляции между всеми парами показателей, причем коэффициент корреляции между totspи livsp оказался равен 0,94, остальные коэффициенты корреляции по модулю не превосходили 0,5. Отметим также, что между totspи brickкоэффициент корреляции был равен 0,26. Далее по МНК были оценены 4 модели, в которых зависимой переменной выступала цена квартиры price. (В скобках – стандартные ошибки).
(1) (2) (3) (4)
const 0,088
(0,062) 0,102
(0,070) 0,096
(0,056) 0,111
(0,097)
totsp
0,227
(0,119) - 0,355
(0,055) 0,465
(0,051)
livsp
0,112
(0,095) 0,205
(0,086) - -
nonlivsp
- 0,140
(0,022) - -
brick 0,126
(0,021) 0,150
(0,012) 0,177
(0,052) -
R2 0,659 0,671 0,559 0,502
А. Какая проблема имеет место в 1-м уравнении? Как она проявляется?
Б. Для модели (2) проверьте гипотезу о том, что увеличение на 1 кв. м. что жилой площади, что нежилой площади изменяет цену квартиры одинаково.
В. В модели (3) проинтерпретируйте коэффициент при переменной brick(Напоминание: сначала надо проверить его значимость). Проверьте гипотезу о том, что коэффициент при brick меньше 0,2.
Г. Можно ли было ожидать заранее, что выбрасывание из модели (3) существенного фактора brick приведет к увеличению оценки при факторе totsp? Ответ обоснуйте соответствующей формулой.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
А. Какая проблема имеет место в 1-м уравнении? Как она проявляется?
Теоретическая модель, соответствующая выборочному уравнению (1):
Price = β0 + β1* Totsp + β2* Livsp + β4* Brick + ε (*)
В выборке переменные totsp и livsp очень сильно коррелированны (коэффициент корреляции 0,94). То есть проблемой в 1-м уравнении может являться мультиколлинеарность.
Проверим гипотезы о значимости отличия от нуля коэффициентов при этих переменных.
H0: β1= 0
HA: β1≠ 0
tстат = (0,227– 0)/0,119 ≈1,91.
Выберем уровень значимости 0,05. Число степеней свободы для уравнения (1) равно 51 –45=46. Поэтому
tкрит(0,05, 46) = 2,013.
Так как |tстат| < tкрит, гипотеза H0 не отвергается при уровне значимости 0,05, то есть коэффициент при переменной Totsp незначимо отличен от нуля, то есть переменная «общая площадь квартиры» не влияет на цену квартиры.
H0: β2= 0
HA: β2≠ 0
tстат = (0,112– 0)/0,095 ≈1,179.
tкрит(0,05, 46) = 2,013.
Так как |tстат| < tкрит, гипотеза H0 не отвергается при уровне значимости 0,05, то есть коэффициент при переменной Livsp незначимо отличен от нуля, то есть переменная «жилая площадь квартиры» не влияет на цену квартиры.
Из-за мультиколлинеарности коэффициент при коррелированных переменных оказались незначимо отличными от нуля, то есть переменные, которые, безусловно, являются важными детерминантами цены квартиры, из-за мультколлинеарности оказались не влияющими на цену квартиры.
Б. Для модели (2) проверьте гипотезу о том, что увеличение на 1 кв. м. что жилой площади, что нежилой площади изменяет цену квартиры одинаково.
Теоретическая модель, соответствующая выборочному уравнению (2):
Price = β0 + β2* Livsp + β3* nonlivsp + β4* Brick + ε (**)
Интерпретация коэффициента β2 при факторе Livsp: при увеличении жилой площади на 1 кв
. м. цена квартиры увеличивается в среднем на β2 млн. рублей (при неизменности значений остальных объясняющих переменных модели).
Интерпретация коэффициента β3 при факторе nonlivsp: при увеличении нежилой площади на 1 кв. м. цена квартиры увеличивается в среднем на β3 млн. рублей (при неизменности значений остальных объясняющих переменных модели).
Таким образом, гипотеза о том, что увеличение на 1 кв. м. что жилой площади, что нежилой площади изменяет цену квартиры одинаково – это гипотеза о равенстве коэффициентов перед переменными Livsp и nonlivsp.
H0: β2= β3
НА: не H0
Так как нулевая гипотеза – это гипотеза о равенстве нескольких коэффициентов модели регрессии, для ее проверки используем тест Фишера.
Пусть H0 истинна. Преобразуем исходную модель (**) с учетом проверяемой гипотезы:
Price = β0 + β2* Livsp + β2* nonlivsp + β4* Brick + ε, то есть
Price = β0 + β2 * (Livsp + nonlivsp) + β4* Brick + ε
Но в скобках стоит общая площадь апартаментов, то есть Totsp. Поэтому окончательно преобразованная модель записывается так:
Price = β0 + β2 * Totsp + β4* Brick + ε.
Или, если соответственно поменять номер переменной при Totsp,
Price = β0 + β1* Totsp + β4* Brick + ε. (***)
То есть, это теоретическая модель для выборочного уравнения (3).
Таким образом, имеем длинную модель (**), для которой выборочное уравнение имеет коэффициент детерминации, равный 0,671, и короткую модель (***), для которой выборочное уравнение имеет коэффициент детерминации, равный 0,559. Число ограничений на коэффициенты в нулевой гипотезе (H0: β2= β3) равно 1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
