Экономист, изучая зависимость уровня Y (тыс. руб.) издержек обращения от объема X (тыс. руб.) товарооборота, обследовал по 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров в 5 районах. Полученные данные отражены в таблице 1.
Задание
Для каждого из районов (в каждой задаче) требуется:
найти коэффициенты корреляции между X и Y;
построить регрессионную функцию линейной зависимости Y = a + b * X фактора Y от фактора X и исследовать ее на надежность по критерию Фишера при уровне значимости 0,05;
найти коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X;
найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента при уровне значимости 0,05;
построить график регрессионной функции и диаграмму рассеяния;
используя полученное уравнение линейной регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при X = 130 тыс. руб. и его доверительный интервал для уровня значимости 0,1.
Таблица 1
3
X
тыс. руб. Y
тыс. руб.
160 12,5
120 9,3
110 9,2
80 6,4
90 7,5
130 11,6
150 13,1
70 5,2
100 7,9
60 4,4
Решение
Для анализа полученной модели вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим :
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Следовательно, связь между признаком Y фактором X прямая, весьма высокая.
Рассчитаем параметры линейной парной регрессии от :
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты
160 12,5 2000 25600 156,25 13,4027
120 9,3 1116 14400 86,49 9,86104
110 9,2 1012 12100 84,64 8,97562
80 6,4 512 6400 40,96 6,31938
90 7,5 675 8100 56,25 7,2048
130 11,6 1508 16900 134,56 10,7465
150 13,1 1965 22500 171,61 12,5173
70 5,2 364 4900 27,04 5,43397
100 7,9 790 10000 62,41 8,09021
60 4,4 264 3600 19,36 4,54855
Итого 1070 87,1 10206 124500 839,57 87,1
Средние значения 107 8,71 1020,6 12450 83,957 8,71
31,6386 2,8448
1001 8,0929
Найдем компоненты 1МНК :
Находим оценки параметров модели:
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличениемобъема товарооборота на 1 тыс.руб
. уровень издержек обращения возрастает в среднем на 0,089 тыс.руб.
Коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации характеризует долю вариации признака Y, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 97% вариации уровня издержек обращения объясняется вариацией объема товарооборота, а 3% зависит от вариации не учтенных в модели факторов .
Фактическое значение Fфакт определяется по формуле:
Табличное значение Fфакт по таблице значений F-критерия Фишера при α = 0,05, k1 = m = 1 и k2 = n – m – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 равно 5,318 (m – число параметров при переменной х).
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.
Найдем коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X:
Увеличение объема товарооборота (от своего среднегозначения) на 1% увеличивает в среднем уровень издержек обращения на 1,09%.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
