Докажите теорему об интегральной формуле Фурье. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Докажите теорему об интегральной формуле Фурье

Докажите теорему об интегральной формуле Фурье .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Докажите теорему об интегральной формуле Фурье: если функция f(x) абсолютно интегрируема и кусочно-гладкая для x ∈ (−∞,∞), то для неё справедлива интегральная формула Фурье fx+0+fx-02=12π-∞∞-∞∞fte-iωtdt eiωxdx, если внешний интеграл рассматривать в смысле главного значения -∞∞gωdω=limA→∞-AAgωdω.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид
fx=12π-∞∞dλ-∞∞fξeiλx-ξdξ, (1)
она эквивалентна действительной форме
fx=1π0∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ. (2)
В самом деле, -∞∞fξcosλx-ξdξ является четной функцией ξ, а -∞∞fξsinλx-ξdξ – нечетной функцией λ; поэтому
1π0∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ=12π-∞∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ,
0=12π-∞∞dλ-∞∞fξsinλx-ξdξ
Следовательно, в силу формулы Эйлера
eiλx-ξ=cosλx-ξ+isinλx-ξ
12π-∞∞dλ-∞∞fξeiλx-ξdξ=12π-∞∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ
+i2π-∞∞dλ-∞∞fξsinλx-ξdξ=1π0∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ,
откуда вытекает эквивалентность (1) и (2). При этом интеграл
0=12π-∞∞dλ-∞∞fξsinλx-ξdξ
понимается, вообще говоря, в смысле главного значения
12π-∞∞dλ-∞∞fξsinλx-ξdξ=limA→∞1A-∞∞fξsinλx-ξdξ.
Заметим, прежде всего, что интеграл
-∞∞fξcosλx-ξdξ,
зависящий от параметра λ, сходится равномерно по параметру λ, при 0 ≤ λ≤ +∞, так как fξcosλx-ξ≤fξ, а интеграл -∞∞fξdξ по условию сходится . Следовательно, можно изменить порядок интегрирования, т.е. записать так
1π0Adλ-∞∞fξcosλx-ξdξ=1π-∞∞dξ0Afξcosλx-ξdξ=
=1π-∞∞fξsinAx-ξx-ξdξ=1π-∞∞fx+ςsinAςςdς,
где ς = ξ – x, dς = dξ. Остается доказать, что
limA→∞1π-∞0fx+ςsinAςςdς=fx-02,
limA→∞1π0∞fx+ςsinAςςdς=fx+02. (3)
При доказательстве мы воспользуемся известным соотношением
1π-∞∞sinAςςdς=12.
Докажем, например, справедливость соотношения (3).
fx+02=1π0∞fx+ςsinAςςdς
Поэтому разность между переменной величиной и предполагаемым пределом в соотношении (3) будет равна
J0,+∞=1π0∞fx+ςsinAςςdς-fx+02=
=1π0∞fx+ς-fx+02sinAςςdς. (4)
Таким образом, нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю при
A → ∞. Разобьем интервал интегрирования 0 ≤ ς ≤ ∞ на три: 0 ≤ ς ≤ δ,
δ ≤ ς ≤ Δ, Δ ≤ ς ≤ ∞; тогда интеграл (4) будет представлен в виде суммы трех
интегралов
J0,+∞=J0,δ+Jδ,∆+J∆,∞ (5).
После этого будем действовать следующим образом

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Докажите теорему об интегральной формуле Фурье

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Вероятность верного решения задачи каждым из отличников равна 0,95

Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения

Из урны содержащей 3 белых и 2 чёрных шара