Докажите теорему об интегральной формуле Фурье

Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид
fx=12π-∞∞dλ-∞∞fξeiλx-ξdξ, (1)
она эквивалентна действительной форме
fx=1π0∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ. (2)
В самом деле, -∞∞fξcosλx-ξdξ является четной функцией ξ, а -∞∞fξsinλx-ξdξ – нечетной функцией λ; поэтому
1π0∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ=12π-∞∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ,
0=12π-∞∞dλ-∞∞fξsinλx-ξdξ
Следовательно, в силу формулы Эйлера
eiλx-ξ=cosλx-ξ+isinλx-ξ
12π-∞∞dλ-∞∞fξeiλx-ξdξ=12π-∞∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ
+i2π-∞∞dλ-∞∞fξsinλx-ξdξ=1π0∞dλ-∞∞fξcosλx-ξdξ,
откуда вытекает эквивалентность (1) и (2). При этом интеграл
0=12π-∞∞dλ-∞∞fξsinλx-ξdξ
понимается, вообще говоря, в смысле главного значения
12π-∞∞dλ-∞∞fξsinλx-ξdξ=limA→∞1A-∞∞fξsinλx-ξdξ.
Заметим, прежде всего, что интеграл
-∞∞fξcosλx-ξdξ,
зависящий от параметра λ, сходится равномерно по параметру λ, при 0 ≤ λ≤ +∞, так как fξcosλx-ξ≤fξ, а интеграл -∞∞fξdξ по условию сходится . Следовательно, можно изменить порядок интегрирования, т.е. записать так
1π0Adλ-∞∞fξcosλx-ξdξ=1π-∞∞dξ0Afξcosλx-ξdξ=
=1π-∞∞fξsinAx-ξx-ξdξ=1π-∞∞fx+ςsinAςςdς,
где ς = ξ – x, dς = dξ. Остается доказать, что
limA→∞1π-∞0fx+ςsinAςςdς=fx-02,
limA→∞1π0∞fx+ςsinAςςdς=fx+02. (3)
При доказательстве мы воспользуемся известным соотношением
1π-∞∞sinAςςdς=12.
Докажем, например, справедливость соотношения (3).
fx+02=1π0∞fx+ςsinAςςdς
Поэтому разность между переменной величиной и предполагаемым пределом в соотношении (3) будет равна
J0,+∞=1π0∞fx+ςsinAςςdς-fx+02=
=1π0∞fx+ς-fx+02sinAςςdς. (4)
Таким образом, нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю при
A → ∞. Разобьем интервал интегрирования 0 ≤ ς ≤ ∞ на три: 0 ≤ ς ≤ δ,
δ ≤ ς ≤ Δ, Δ ≤ ς ≤ ∞; тогда интеграл (4) будет представлен в виде суммы трех
интегралов
J0,+∞=J0,δ+Jδ,∆+J∆,∞ (5).
После этого будем действовать следующим образом