Доказать следующие логические законы используя определение общезначимости и логической эквивалентности

Предположим, что ¬¬φ∼φ=0, тогда возможны два случая:
¬¬φ=1 и φ=0;
¬¬φ=0 и φ=1.
Если ¬¬φ=1, тогда ¬φ=0, откуда φ=1, что противоречит условию φ=0.
Если ¬¬φ=0, тогда ¬φ=1, откуда φ=0, что противоречит условию φ=1.
Получили противотечения, следовательно, ¬¬φ∼φ=1, т.е. всегда истинно. Ч.т.д.
b) Предположим, что φ∨¬φ=0, тогда φ=0 и ¬φ=0. Из условия ¬φ=0 следует φ=1, что противоречит условию φ=0.
Получили противотечение, следовательно, φ∨¬φ=1, т.е. всегда истинно. Ч.т.д.
c) Предположим, что φ∧(ψ∨η)∼(φ∧ψ)∨(φ∧η)=0, тогда возможны два случая:
φ∧ψ∨η=1 и (φ∧ψ)∨(φ∧η)=0;
φ∧ψ∨η=0 и (φ∧ψ)∨(φ∧η)=1.
Рассмотрим первый случай: φ∧ψ∨η=1(φ∧ψ)∨(φ∧η)=0.
Из первого условия получаем φ=1 и ψ∨η=1. Тогда 1∧ψ∨1∧η=ψ∨η=0. Получили противоречие, следовательно, φ∧(ψ∨η)∼(φ∧ψ)∨(φ∧η)=1.
Рассмотрим второй случай: φ∧ψ∨η=0(φ∧ψ)∨(φ∧η)=1.
Положим φ=0, тогда из первого условия получаем 0∧ψ∨η=0 при любом ψ∨η, а из второго – φ∧ψ∨φ∧η=0∧ψ∨0∧η=0∨0=0 . Получили противоречие.
Положим φ=1, тогда система примет вид ψ∨η=0ψ∨η=1. Получили противоречие.
Следовательно, φ∧(ψ∨η)∼(φ∧ψ)∨(φ∧η)=1, т.е. всегда истинно. Ч.т.д.
d) Предположим, что φ∨(ψ∧η)∼(φ∨ψ)∧(φ∨η)=0, тогда возможны два случая:
φ∨ψ∧η=1 и (φ∨ψ)∧(φ∨η)=0;
φ∨ψ∧η=0 и (φ∨ψ)∧(φ∨η)=1.
Рассмотрим первый случай: φ∨ψ∧η=1(φ∨ψ)∧(φ∨η)=0.
Положим φ=0, тогда система примет вид: ψ∧η=1ψ∧η=0. Получили противоречие.
Положим φ=1, из первого условия получаем 1∨ψ∧η=1 при любом ψ∧η. Из второго условия получаем 1∨ψ∧1∨η=1∧1=1. Получили противоречие.
Получили противотечения, следовательно, φ∨¬φ=1, т.е. всегда истинно. Ч.т.д.
e) Предположим, что φ∨(φ∧ψ)∼φ=0, тогда возможны два случая:
φ∨(φ∧ψ)=1 и φ=0;
φ∨(φ∧ψ)=0 и φ=1.
При φ=0 получаем: 0∨0∧ψ=0∨0=0