Доказать что существует оператор I-A-1

А) Пусть линейный ряд
k=0∞Akx=y=Mf,
тогда доказательство сводится к нахождению обратного оператора M-1:
f=M-1y
Рассмотрим частный случай оператора М:
M=I-A,
где I – единичный оператор, А – малый по норме оператор: A<1.
y=Mf ⇔ I-Af=y ⇔ f=y+Af.
Это уравнение можно решать методом интеграций. Построим последовательность fn, которая будет сходиться к решению уравнения.
Пусть f0=y.
f1=y+Af0=y+Ay,f2=y+Af1=y+Ay+A2y,…fn=y+Afn-1 .
Тогда решение уравнения будет иметь вид:
f=limn→∞fn=k=0∞Akxy.
С другой стороны,
f=I-A-1y.
Решением уравнения будет:
I-A-1=k=0∞Akx.
б) I-A-1=k=0∞Akx.
Проверим, что k=0∞Akx – это обратный оператор к (I – A).
I-Ak=0∞Akx=k=0∞AkxI-A=I-Ax+Ax-A2x+A2x--A3x+…-Ak+1x=I-Ak+1x.
Ak+1x≤Ak+1xk→00 так как Ax<1 ⇒ Ak+1xk→∞0.
При k→∞
I-Ak=0∞Akx=k=0∞AkxI-A=I,
откуда
I-A-1=k=0∞Akx.
Пусть Х – комплексное банахово пространство, A∈LX, λ∈C и λ>A