Для производства стали определенной марки, в которую должны входить химические элементы А, В, С, можно закупать шихту двух видов I и II. Содержание легирующих элементов в 1 т шихты каждого вида и в выплавляемой стали, а также стоимость шихты приведены в табл. 1. Определить наименьшие затраты для производства 1000т стали и необходимое количество шихты каждого вида.
Таблица 1 – Исходные данные к задаче 1
Химический элемент Содержание элемента в 1 т шихты (кг) Минимальное содержание элементов в 1000 т стали (кг)
I II
А 0 2 84
В 6 5 300
С 4 0 120
Цена 1 т шихты (тыс. руб.) 4 10
Решение
Математическая модель задачи
Поскольку содержание элементов дано на 1 тонну шихты, дана цена за 1 тонну шихты, а требования к минимальному содержанию элементов приводятся для 1000 тонн, то приведем данные в соответствии с одной единицей измерения: шихту будем измерять в тыс. тонн.
Содержание элементов в 1000 т шихты (кг) будет равно: элемент А – 0 и 2000 кг соответственно; элемент В – 6000 и 5000 кг соответственно; элемент С – 4000 и 0 кг соответственно. Цена 1000 т шихты (тыс. руб.) равна 4000 и 10000 для шихты вида I и II соответственно.
Переменные задачи:
x1 – масса закупаемой шихты вида I, тыс. т.;
x2 – масса закупаемой шихты вида II, тыс. т.
Тогда:
0∙x1+2000∙x2 – содержание химического элемента А в шихте, кг;
6000∙x1+5000∙x2 – содержание химического элемента В в шихте, кг;
4000∙x1+0∙x2 – содержание химического элемента С в шихте, кг.
Ограничения:
Минимальное содержание элементов в 1000 т стали равно 84 кг для элемента А, 300 кг для элемента В, 120 кг для элемента С, тогда должны выполняться следующие условия:
2000x2≥84(1)
6000x1+5000x2≥300(2)
4000x1≥120(3)
Необходимо произвести 1 тыс. тонн стали, тогда должно выполняться условие:
x1+x2=1(4)
По смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными числами:
xi≥0, i=1,2(5)
Целевая функция:
Цена 1000 т шихты вида I равна 4000 тыс
. руб., цена 1000 т шихты вида II равна 10000 тыс. руб., тогда общие затраты на закупку шихты составят (тыс. руб.):
F=4000x1+10000x2(6)
Таким образом, получена математическая модель задачи:
Найти минимальное значение функции F=4000x1+10000x2→min при условиях:
2000x2≥846000x1+5000x2≥3004000x1≥120x1+x2=1xi≥0, i=1,2
Графическое решение задачи
Определение области допустимых решений (ОДР)
Каждое неравенство системы ограничений определяет полуплоскость с границей, задаваемой прямой. Построим эти прямые.
Рассмотрим неравенство: 2000x2≥84.
Ему соответствует прямая 2000x2=84
x2=842000
x2=0,042 – прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку (0;0,042).
Построенная прямая разделила плоскость на 2 полуплоскости (рис. 1). Чтобы определить нужную полуплоскость, возьмем, например, точку О(0; 0) и подставим ее координаты в соответствующее неравенство:
2000∙0≥84 – неверное, поэтому выбираем полуплоскость, не содержащую точку (0;0).
Рассмотрим неравенство: 6000x1+5000x2≥300
Ему соответствует прямая 6000x1+5000x2=300
60x1+50x2=3
x2=150(3-60x1)
Строим прямую по точкам:
x1
0 0,1
x2
0,06 -0,06
Построенная прямая разделила плоскость на 2 полуплоскости (рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
