Для полива различных участков сада, на которых растут сливы, яблони, груши, служат три колодца. Колодцы могут дать соответственно 180, 90, и 40 ведер воды. Участки сада требуют для полива соответственно 100, 120 и 90 ведер воды. Расстояние (в метрах) от колодцев до участков сада указаны в следующей таблице:
Колодцы Участки
сливы яблони груши
1 10 5 12
2 23 28 33
3 43 40 39
Как лучше организовать полив?
Пояснения к решению задачи.
Необходимо определить план X полива участков, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся ресурсов.
Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия — минимум расстояния от колодца до участка.
Обозначить через xi, где і = 1,2,3, план полива і-го участка.
Решение
Решим задачу, как транспортную.
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
B1 B2 B3 Запасы
A1 10 5 12 180
A2 23 28 33 90
A3 43 40 39 40
Потребности 100 120 90
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.∑a = 180 + 90 + 40 = 310∑b = 100 + 120 + 90 = 310
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.
Этап I. Поиск первого опорного плана.
1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен c12=5
. Для этого элемента запасы равны 180, потребности 120. Поскольку минимальным является 120, то вычитаем его.x12 = min(180,120) = 120.
10 5 12 180 - 120 = 60
23 x 33 90
43 x 39 40
100 120 - 120 = 0 90
Искомый элемент равен c11=10. Для этого элемента запасы равны 60, потребности 100. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.x11 = min(60,100) = 60.
10 5 x 60 - 60 = 0
23 x 33 90
43 x 39 40
100 - 60 = 40 0 90
Искомый элемент равен c21=23. Для этого элемента запасы равны 90, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.x21 = min(90,40) = 40.
10 5 x 0
23 x 33 90 - 40 = 50
x x 39 40
40 - 40 = 0 0 90
Искомый элемент равен c23=33. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 90. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.x23 = min(50,90) = 50.
10 5 x 0
23 x 33 50 - 50 = 0
x x 39 40
0 0 90 - 50 = 40
Искомый элемент равен c33=39. Для этого элемента запасы равны 40, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.x33 = min(40,40) = 40.
10 5 x 0
23 x 33 0
x x 39 40 - 40 = 0
0 0 40 - 40 = 0
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
B1 B2 B3 Запасы
A1 10[60] 5[120] 12 180
A2 23[40] 28 33[50] 90
A3 43 40 39[40] 40
Потребности 100 120 90
2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
