Для функции заданной таблично построить интерполяционный полином Лагранжа

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной функции.
L3x=6∙x-3x-4x-52-32-42-5+2∙x-2x-4x-53-23-43-5+8∙x-2x-3x-54-24-34-5+
+6∙x-2x-3x-45-25-45-4=-x3+12x2-47x+60+x3-11x2+38x-40-4x3+
+40x2-124x+120+x3-9x2+26x-24=-3x3+32x2-107x+116
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
L3x=-3x3+32x2-107x+116
Проверка выполнения условия интерполяции:
L32=-3∙23+32∙22-107∙2+116=6
L33=-3∙33+32∙32-107∙3+116=2
L34=-3∙43+32∙42-107∙4+116=8
L35=-3∙53+32∙52-107∙5+116=6
Построим интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции. Для этого составим таблицу конечных разностей, пользуясь формулами:
∆y0=y1-y0; ∆2y0=∆y1-∆y0; ∆3y0=∆2y1-∆2y0;
∆y1=y2-y1; ∆2y1=∆y2-∆y1;
∆y2=y3-y2.
№ точки y=fx
∆y
∆2y
∆3y
0 6 -4 10 -18
1 2 6 -8
2 8 -2
3 6
Пользуясь таблицей, запишем интерполяционную формулу Ньютона:
P3x=y0+∆y0h∙1!x-x0+∆2y0h2∙2!x-x0x-x1+∆3y0h3∙3!x-x0x-x1x-x2
где h=x1-x0=1
P3x=6+-41∙1!x-2+1012∙2!x-2x-3+-1813∙3!x-2x-3x-4
P3x=6-4x-2+5x-2x-3-3x-2x-3x-4
P3x=6-4x-2+5x2-5x+6-3x3-9x2+26x-24
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
P3x=-3x3+32x2-107x+116
Проверка выполнения условия интерполяции:
P32=-3∙23+32∙22-107∙2+116=6
P33=-3∙33+32∙32-107∙3+116=2
P34=-3∙43+32∙42-107∙4+116=8
P35=-3∙53+32∙52-107∙5+116=6
Будем искать аппроксимирующий многочлен 2-го порядка (m=2) в виде:
g2x=a2x2+a1x+a0
Неизвестные коэффициенты a0, a1, a0 из системы линейных алгебраических уравнений:
s0a0+s1a1+s2a2=t0s1a0+s2a1+s3a2=t1s2a0+s3a1+s4a2=t2
Соответственно аппроксимирующий полином 1-го порядка (m=1) будем искать в виде:
g1x=a1x+a0
Неизвестные коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений:
s0a0+s1a1=t0s1a0+s2a1=t1
С целью составления систем для определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующих полиномов составим таблицу:
№ x0
𝑥 x2
x3
x4
y
yx
yx2
0 1 2 4 8 16 6 12 24
1 1 3 9 27 81 2 6 18
2 1 4 16 64 256 8 32 128
3 1 5 25 125 625 6 30 150
s0
s1
s2
s3
s4
t0
t1
t2
Сумма 4 14 54 224 978 22 80 320
Запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома 2-го порядка:
4a0+14a1+54a2=2214a0+54a1+224a2=8054a0+224a1+978a2=320 a0=9a1=-3a2=1
g2x=x2-3x+9
Аналогично, запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующего многочлена 1-го порядка:
4a0+14a1=2214a0+54a1=80a0=3a1=1
g1x=x+3
На рисунке 1