Для данных рядов найти а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Для данных рядов найти а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда

Для данных рядов найти а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Для данных рядов найти а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда; б) выписать первые три члена ряда: n=0∞2n(x-1)n3n+1

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Интервал сходимости степенного ряда найдем с помощью признака Даламбера:
un=2n(x-1)n3n+1 un+1=2n+1(x-1)n+13n+4=2∙2n(x-1)n(x-1)3n+4
limn→∞ un+1un=limn→∞2∙2n(x-1)n(x-1)3n+4∙3n+12n(x-1)n=2x-1∙limn→∞3n+13n+4=
=2x-1∙limn→∞n3+1nn3+4n=2x-1∙limn→∞3+1n3+4n=2∙x-1
Ряд сходится при
2∙x-1<1 x-1<12 12<x<32
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=12
n=0∞2n(x-1)n3n+1=n=0∞(-1)n∙2n2n∙(3n+1)=n=0∞(-1)n3n+1
Это знакочередующийся ряд . Члены ряда по модулю монотонно стремятся к нулю. По признаку Лейбница данный знакочередующийся ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=0∞an=n=0∞13n+1
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом:
an=13n+1 bn=1n
limn→∞anbn=limn→∞n3n+1=13
Получили конечное, отличное от нуля число, значит ряд составленный из модулей исходного ряда расходится, а исходный ряд сходится условно.
x=32
n=0∞2n(x-1)n3n+1=n=0∞2n2n∙(3n+1)=n=0∞13n+1
Данный ряд расходится по доказанному ранее.
12≤x<32 при x=12 ряд сходится условно
Запишем первые три члена ряда:
a0=20(x-1)03∙0+1=1
a1=21(x-1)13∙1+1=12(x-1)
a2=22(x-1)23∙2+1=47∙(x-1)2

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу