Для данного в задаче интервального статистического ряда вычислить выборочное среднее

А) Вычислим выборочное среднее и выборочную дисперсию изучаемого признака.
В пределах каждого интервала все значения признака приравниваем к его серединному значению xi*=xi+xi+12 и считаем, что частота относится именно к этому значению.
x1*=1,5+1,82=1,65, x2*=1,8+2,12=1,95
x3*=2,1+2,42=2,25, x4*=2,4+2,72=2,55
x5*=2,7+3,02=2,85, x6*=3,0+3,32=3,15
x7*=3,3+3,62=3,45, x8*=3,6+3,92=3,75
x9*=3,9+4,22=4,05, x10*=4,2+4,52=4,35
x11*=4,5+4,82=4,65
Тогда
xi*
1,65 1,95 2,25 2,55 2,85 3,15 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65
Число предприятий (ni)
8 19 42 76 102 98 76 41 20 8 5
Вычислим объем выборки:
n=ni=8+19+42+76+102+98+76+41+20+8+5=495
Для вычисления выборочной средней и дисперсии составим вспомогательную расчетную таблицу
№ xi*
ni
xi*ni
xi*-x2ni
1 1,65 8 13,2 15,02
2 1,95 19 37,05 21,75
3 2,25 42 94,5 24,90
4 2,55 76 193,8 16,79
5 2,85 102 290,7 2,95
6 3,15 98 308,7 1,66
7 3,45 76 262,2 14,05
8 3,75 41 153,75 21,85
9 4,05 20 81 21,22
10 4,35 8 34,8 14,15
11 4,65 5 23,25 13,28
∑
495 1492,95 167,62
Найдем выборочное среднее значение по сгруппированным данным, т. е. с помощью вариационного ряда
x=1ni=111ni∙xi*=1492,95495=3,02
Вычислим выборочную дисперсию по сгруппированным данным
D(Х)=1ni=111xi*-x2ni=167,62495=0,339
Найдем среднее квадратическоеотклонение
σ=D(Х)=0,339≈0,582
б) Построим гистограмму отностиельных частот.
№ интервал xi-xi+1
Частота интервала ni
Относительные частоты
Wi=nin
Wih
1 1,5-1,8 8 0,02 0,05
2 1,8-2,1 19 0,04 0,13
3 2,1-2,4 42 0,08 0,28
4 2,4-2,7 76 0,15 0,51
5 2,7-3,0 102 0,21 0,69
6 3,0-3,3 98 0,20 0,66
7 3,3-3,6 76 0,15 0,51
8 3,6-3,9 41 0,08 0,28
9 3,9-4,2 20 0,04 0,13
10 4,2-4,5 8 0,02 0,05
11 4,5-4,8 5 0,01 0,03
Построим гистограмму относительных частот, т.е . ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы, длиною , а высоты равны плотности относительной частоты
Рис.3 Гистограмма относительных частот
в) Нарисовать дифференциальную кривую нормального распределения, соответствующую данным наблюдений.
Точечной оценкой математического ожидания a является средняя выборочная x, тогда полагаем x=а=3,02; точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения σ является выборочное среднее квадратическое отклонение, то есть σ=0,582.
Построим на чертеже гистограммы её теоретический аналог f (x).
Вид гистограммы относительных частот напоминает график плотности функции fx=12π∙σ∙e-(x-a)22∙σ2 нормального распределения непрерывной случайной величины Х.
Построим на одном чертеже с гистограммой относительных частот и ее теоретический аналог fx=10,582∙2π∙e-(x-3,02)22∙0,5822.
Рис. 4. Дифференциальную кривую
нормального распределения fx
г) С надежностью 0,95 найти доверительный интервал для оценки математического ожидания.
Формула для оценки математического ожидания a в случае известной σ:
xв-tγ∙σn<a<xв+tγ∙σn
tγ найдем из равенства Фtγ=γ2