Для данных линейных неоднородных ДУ найти общие решения y''+2y'-3y=4e-x

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим и решим характеристическое уравнение:
k2+2k-3=0
D=4-4*1*-3=4+12=16
k1=-2-42=-62=-3
k2=-2+42=22=1
Так как получились различные действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e-3x+C2ex
Частное решение неоднородного уравнения ищем в следующем виде:
y=Ae-x
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=-Ae-x
y''=Ae-x
Подставляем в уравнение данные замены:
Ae-x-2Ae-x-3Ae-x=4e-x
-4Ae-x=4e-x
Получаем уравнение:
-4A=4
A=4-4=-1
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=-e-x
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e-3x+C2ex-e-x