Даны вершины треугольника A,B,C. Найти:
1) длину стороны AB;
2) уравнение стороны AB;
3) длину медианы AM;
4) уравнение медианы AM;
5) уравнение высоты BH;
6) длину высоты BH;
7) площадь треугольника;
8) угол BAC (в градусах);
9) уравнение прямой, параллельной стороне BC и проходящей через точку A.
В ответах надо приводить уравнения прямых в виде y=kx+b. Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.
A-3,0
B-5,2
C3,8
Решение
Найдем длину стороны АВ:
АВ=x2-x12+y2-y12=-5--32+2-02=-22+22=4+4=
=8=22≈2,83.
2) Уравнение стороны АВ составим, используя уравнение прямой проходящей через две точки:
АВ: x-(-3)-5-(-3)=y-02-0; x+3-2=y2; 2x+3=-2y; 2y=-2x-6; y=-x-3.
3) Так как, прямая AМ является медианой, то точка M – середина отрезка BC. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам:
xM=xB+xC2=-5+32=-1;
YM=yB+yC2=2+82=5;
M(-1;5).
Длину медианы найдем как расстояние между точками А и М:
AM=xM-xA2+yM-yA2=-1--32+5-02=22+52=
=4+25=29≈5,39.
4) Cоставим уравнение медианы АM, используя уравнение прямой проходящей через две точки:
АM:x-(-3)-1-(-3)=y-05-0; x+32=y5; 2y=5x+15; y=52x+152.
5) ВН является высотой треугольника ABC , значит ВН АС
. Используем условие перпендикулярности двух прямых: прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и взяты с противоположными знаками, т.е.
l1 l2↔k1=-1k2Составим уравнение стороны АС с угловым коэффициентом:
АС: x--33--3=y-08-0; x+36=y8; 4x+3=3y; 3y=4x+12; y=43x-4.
kАС=43.
Тогда
kВН=-1kАС=-143=-34.Поэтому, уравнение высоты ВН:
y-y0=kx-x0.
y-2=-34x-(-5),
y=-34x-74.6) Чтобы найти длину высоты BH воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой на плоскости:
BH=ρB;AC=AxB+ByB+CA2+B2=4∙-5-3∙2+1242+-32=-20-6+1216+9=-1425=
=145=2,8.
7) Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен:
S∆ABC=12AB,AC
Составим координаты векторов AB, AC:
AB=x2-x1;y2-y1=(-5-(-3);2-0)=-2;2;
AС=3--3;8-0=6;8.
Вычислим векторное произведение векторов AB, AC по формуле:
AB,AC=xAByABxACyAC.
Подставим в формулу координаты векторов AB и AC:
AB,AC=-2268=-16-12=-28.
S∆ABC=12∙-28=14 кв.ед.
8) Найдем угол А треугольника, как угол между прямыми АВ и АС по формуле:
tgφ=k1-k21+k1k2.
Угловые коэффициенты прямых АВ и АС уже найдены:
kАВ=-1; kАС=43.Тогда:
tgφ=kАС-kАВ1+kАВkАС=43-(-1)1+(-1)∙43=73-13=-7=7.
A=arctg (7)≈81,87o
9) Чтобы написать уравнение прямой l, проходящей через точку A параллельно BC воспользуемся условием параллельности прямых l1 и l2:
l1 l2↔k1=k2
Найдем угловые коэффициенты прямых BC и l
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
