Даны вершины пирамиды SPMN. Найти 1) длину ребра SN
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Даны вершины пирамиды SPMN. Найти:
1) длину ребра SN;
2) уравнение ребра SN;
3) уравнение грани SPN;
4) площадь грани SPN;
5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN;
6) длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN;
7) угол между ребрами SP и SN (в градусах);
8) угол между ребром SP и гранью PMN (в градусах);
9) объем пирамиды.
2.70 S4,0,0;
P0,1,0;
M0,0,2;
N3,9,8.
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
1) SN=146;
2) SN: x-4-1=y9=z8
3) SPN: 8x+32y-35z-32=0.
4)S≈24,05 кв.ед.
5) SK: x-48=y-2=z-1
6) SК≈4,09.
7) (SP,SN)=74,88o.
8)φ≈83,22o.
9) V=17 куб.ед.
Решение
Длину ребра SN;
Найдем координаты вектора SN:
SN=x2-x1;y2-y1;z2-z1=(3-4;9-0;8-0)=-1;9;8;
Найдем модуль вектора SN:
SN=x2+y2+z2=(-1)2+92+82=1+81+64=146;
2) Cоставим уравнения ребра SN, используя уравнение прямой проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.
SN: x-43-4=y-09-0=z-08-0; x-4-1=y9=z8
3) Составим общее уравнение грани SPN, проходящей через три точки:
x-4y-0z-00-41-00-03-49-08-0=0,
x-4yz-410-198=x-4∙1098-y∙-40-18+z∙-41-19=
=x-4∙8-0-y∙-32-0+z∙-36+1=8x+32y-35z-32=
=8x+32y-35z-32=0.
Получаем уравнение грани SPN: 8x+32y-35z-32=0.
4)Площадь грани SPN найдем по формуле S=12|SP × SN|.
SP=0-4;1-0;0-0=-4;1;0
SN=-1;9;8
Найдем векторное произведение векторов SP и SN:
SP × SN=ijk-410-198=i∙1098-j∙-40-18+k∙-41-19=
=i∙8-0-j∙-32-0+k∙-36+1=8i+32j-35k=8;32;-35.
Найден модуль векторного произведения:
SP × SN=82+322+(-35)2=64+1024+1225=2313=3257.
Тогда площадь грани SPN будет равна:
S=12∙3257=32257≈24,05 кв.ед.
5) Составим уравнение грани PMN:
x-0y-1z-00-00-12-03-09-18-0=0,
xy-1z0-12388=x∙-1288-y-1∙0238+z∙0-138=x∙-8-16-y-1∙
∙0-6+z∙0+3=-24x+6y+3z-6=0 или 8x-2y-z+2=0.
Уравнение высоты SK, опущенной из вершины S на грань PMN составляется по формуле
,
Т.к
. SKPMN, то в качестве направляющего вектора можно взять нормальный вектор грани PMN: 8;-2;-1. Тогда, искомое уравнение высоты имеет вид:
SK:x-48=y-0-2=z-0-1; x-48=y-2=z-1
6) Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 находится по формуле:
d=Ax1+By1+Cz1+DA2+B2+C2.
Тогда, найдем длину высоты SК как расстояние от точки S (4;0;0) до плоскости
PMN:8x-2y-z+2=0:
d=SК=8∙4+-2∙0+(-1)∙0+282+(-2)2+(-1)2=32+0+0+264+4+1=3469≈4,09.
7) Угол между двумя ребрами SP и SN определим как угол между их направляющими векторами по формуле:
cos (nSP^nSN)=nSP∙nSNnSP∙nSN.
Направляющий вектор ребра SP равен: nSP=-4;1;0.
Найдем направляющий вектор ребра SN: nSN=-1;9;8
Найдем скалярное произведение векторов nSPи nSN и их модули:
nSP∙nSN=-4∙-1+1∙9+0∙8=4+9+0=13.
nSP=(-4)2+12+02=17;
nSN=(-1)2+92+82=1+81+64=146.
Тогда,
coanSP^nSN=1317∙146=0,26.
(SP,SN)=nSP^nSN=arсcos0,26=74,88o.
8)За угол между ребром и гранью принимают угол между этим ребром и его проекцией на данную грань
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
