Даны вершины пирамиды A17 0 3 A23 0 -1 A33

Запишем координаты векторов:
A1A2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=3-7;0-0;-1-3=(-4;0;-4)
A1A3=x3-x1;y3-y1;z3-z1=3-7;0-0;5-3=(-4;0;2)
A1A4=x4-x1;y4-y1;z4-z1=4-7;3-0;-2-3=-3;3;-5
а) длину ребра A1A2 найдем как длину вектора A1A2
A1A2=A1A2=(-4)2+02+(-4)2=32=42
б) Угол между ребрами найдем как угол между соответствующими векторами, используя определение скалярного произведения:
cosα=A1A2∙A1A3A1A2∙A1A3=-4∙-4+0∙0+-4∙242∙(-4)2+02+22=842∙25=110
α=arccos110≈1,25 рад.
в) Площадь грани A1A2A3, построенной на векторах A1A2,A1A3, найдем используя свойство векторного произведения:
S=12∙A1A2×A1A3
A1A2×A1A3=ijk-40-4-402=16j+8j=24j
A1A2×A1A3=02+242+02=24
S=242=12 кв.ед.
г) Составим уравнение плоскости A1A2A3
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
x-7y-0z-33-70-0-1-33-70-05-3=0
x-7yz-3-40-4-402=0 16y+8y=0 y=0
Расстояние от точки A4 до плосоксти A1A2A3 равно y4=3
д) Объем пирамиды A1A2A3A4, построенной на векторах A1A2,A1A3,A1A4, найдем используя свойство смешанного произведения:
V=16∙A1A2×A1A3∙A1A4
A1A2×A1A3∙A1A4=-40-4-402-33-5=48+24=72
V=726=12 куб.ед.