Даны векторы a b c и d

Чтобы показать, что векторы a,b,c образуют базис, нужно чтобы определитель из их координат был отличен от нуля. Составим и вычислим данный определитель:
12-1-2-133-1-1=1*-13-1-1-2*-233-1-1*-2-13-1=1*-1*-1--1*3-2*-2*-1-3*3-1*-2*-1-3*-1=1+3-2*2-9-1*2+3=4-2*-7-1*5=4+14-5=13
Так как данный определитель не равен нулю, векторы a,b,c образуют базис.
Вектор d в этом базисе будет иметь следующие координаты:
d=αa+βb+γc
Перепишем в координатной форме, получим:
3,0,-5=α1,-2,3+β2,-1,-1+γ(-1,3,-1)
Получаем следующую систему линейных уравнений:
α+2β-γ=3-2α-β+3γ=03α-β-γ=-5
Решим данную систему методом Крамера, определитель исходной матрицы мы уже нашли ранее, он равен 13