Даны векторы a=1 -1 4 b=3 -2 -1 c=-2 1 -1

Из координат векторов a,b,c составим определитель:
∆=13-2-1-214-1-1=2+12-2-16-3+1=-6
Так как ∆≠0, то векторы a,b,c линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства R3
Выразим вектор d через линейную комбинацию векторов a,b,c
d=x1a+x2b+x3c
В координатной форме:
5;-3;6=x11;-1;4+x23;-2;-1+x3-2;1;-1
Данному равенству соответствует система уравнений:
x1+3x2-2x3=5-x1-2x2+x3=-34x1-x2-x3=6
Решим систему по формулам Крамера:
Составим и вычислим определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:
∆=13-2-1-214-1-1=2+12-2-16-3+1=-6
Аналогично вычисляем определители ∆i, полученные из ∆, заменой i-го столбца столбцом свободных коэффициентов.
∆1=53-2-3-216-1-1=10+18-6-24-9+5=-6
∆2=15-2-1-3146-1=3+20+12-24-5-6=0
∆3=135-1-2-34-16=-12-36+5+40+18-3=12
Тогда решение системы найдем по формулам:
x1=∆1∆=-6-6=1; x2=∆2∆=0-6=0; x3=∆3∆=12-6=-2
В базисе a,b,c вектор d имеет координаты d=(1;0;-2)
d=a-2c