Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4:
A1x1;y1;z1=A19;-3;3; A2x2;y2;z2=A22;3;9;
A3x3;y3;z3=A3-2;-3;9; A4x4;y4;z4=A47;-7;7.
Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами A1A2 и A1A4;
2) площадь грани A1A2A3 ;
3) объем пирамиды A1A2A3A4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды A2A3A4 ;
5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины A1.
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
1) φ=arccos0,2121≈77°45' - угол между ребрами A1A2 и A1A4 ;
2)S∆=3173≈39,459 ед.2 - площадь грани A1A2A3;
3)Vпир.=48 ед.3 - объем пирамиды A1A2A3A4;
4) 6x-4y+35z-315=0 - уравнение плоскости основания пирамиды A2A3A4;
5) x-96=y+3-4=z-335 - уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины A1.
Решение
Сделаем рисунок:
1)Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A4 .
Найдем координаты и длины векторов A1A2 и A1A4 :
A1A2=xA2-xA1;yA2-yA1;zA2-zA1=2-9;3--3;9-3=-7;6;6;
А1А2=xA2-xA12+yA2-yA12+zA2-zA12=-72+62+62=121=11;
A1A4=xA4-xA1;yA4-yA1;zA4-zA1=7-9;-7--3;7-3=-2;-4;4;
А1А4=xA4-xA12+yA4-yA12+zA4-zA12=-22+-42+42=36=6.
Угол между рёбрами A1A2 и A1A4 найдем как угол φ между векторами
A1A2=-7;6;6 и A1A4=-2;-4;4 с модулями A1A2=11 и A1A4= из соотношения cosφ=A1A2∙A1A4 A1A2∙ A1A4=-7∙-2+6∙-4+6∙411∙6=14-24+2466=733≈0,2121.
φ=arccos0,2121≈77°45'.
2)Найдем площадь грани A1A2A3 .
Площадь грани A1A2A3 вычислим с помощью векторного произведения векторов
A1A2=-7;6;6 и A1A3 . Найдём площадь треугольника A1A2A3 как половину площади параллелограмма по формуле
S∆=12 A1A2×A1A3 .
Найдем координаты вектора A1A3:
A1A3=xA3-xA1;yA3-yA1;zA3-zA1=-2-9;-3--3;9-3=-11;0;6.
Применяя символический определитель, найдём векторное произведение:
A1A2×A1A3=ijkxA1A2yA1A2zA1A2xA1A3yA1A3zA1A3.
A1A2×A1A3=ijk-766-1106=i∙6606-j∙-76-116+k∙-76-110=
=36-0i--42+66j+0+66k=36i-24j+66k ⇒
A1A2×A1A3=362+-242+662=1296+576+4356=6173.
S∆=12∙6173=3173≈39,459 ед.2.
3)Найдем объем пирамиды A1A2A3A4.
Объём пирамиды A1A2A3A4 вычислим как одну шестую объёма параллелепипеда с помощью смешанного произведения векторов A1A2=-7;6;6, A1A3=-11;0;6 и A1A4=-2;-4;4 , на которых построена пирамида, по формуле :
(вычислим определитель разложением по второй строке)
A1A2,A1A3∙A1A4=xA1A2yA1A2zA1A2xA1A3yA1A3zA1A3xA1A4yA1A4zA1A4.
A1A2,A1A3∙A1A4=-766-1106-2-44=-11∙66-44-0∙-76-24+6∙-76-2-4=
=-11∙24+24-0+6∙28+12=-11∙48+6∙40=-528+240=-288.
Vпир.=16∙A1A2,A1A3∙A1A4;
Vпир.=16∙-286=2886=48 ед.3.
4)Найдем уравнение плоскости основания пирамиды A2A3A4.
Для того чтобы составить уравнение плоскости A2A3A3 , возьмём текущую точку
М (x,y,z) плоскости
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
