Даны координаты вершин пирамиды A11 -1 0

Найдем координаты следующих векторов:
A1A2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=2-1;-2+1;4-0=(1;-1;4)
A1A3=x3-x1;y3-y1;z3-z1=4-1;-3+1;-1-0=(3;-2;-1)
A1A4=x4-x1;y4-y1;z4-z1=-1-1;2+1;-1-0=(-2;3;-1)
Угол между ребрами A1A2 и A1A3 найдем, используя определение скалярного произведения
cosα=A1A2∙A1A3A1A2∙A1A3=1∙3+-1∙-2+4∙(-1)12+(-1)2+42∙32+-22+(-1)2=118∙14=1263
α=arccos1263≈86,39°
Площадь грани A1A2A3, построенной на векторах A1A2 и A1A3 найдем, используя свойство векторного произведения:
S=12∙A1A2×A1A3
A1A2×A1A3=ijk1-143-2-1=i+12j-2k+3k+j+8i=9i+13j+k
A1A2×A1A3=92+132+12=251
S=2512 (кв.ед.)
уравнение плоскости A1A2A3, проходящей через точки A1,A2,A3 запишем по формуле:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
x-1y+1z-02-1-2+14-04-1-3+1-1-0=0
x-1y+1z1-143-2-1=0
x-1+12y+1-2z+3z+y+1+8(x-1)=0
9x+13y+z+4=0
Вектор нормали к плоскости: n=9;13;1
Вектор нормали к плоскости A1A2A3 служит направляющим высоты, опущенной из точки A4, поэтому запишем уравнение высоты по направляющему вектору и точке A4
x-x4nx=y-y4ny=z-z4nz
x+19=y-213=z+11
Объем пирамиды найдем, используя свойство смешанного произведения:
V=16∙A1A2×A1A3∙A1A3
A1A2×A1A3∙A1A3=1-143-2-1-23-1=2-2+36-16-3+3=20
V=206=103 (куб.ед.)