Даны функция zx y=ln⁡(2x+3y) точка A2 2и вектор a=2i-3j

1) Вычисляем частные производные:
zx'=ln⁡(2x+3y) x'=12x+3y2x+3y x'=22x+3y;
zy'=ln⁡(2x+3y)y'=12x+3y2x+3y y'=32x+3y.
В точке A2;2 получаем:
zx'2;2=22∙2+3∙2=15,
zy'2;2=32∙2+3∙2=310.
Градиент функции zx;yв произвольной точке вычисляется по формуле: gradzA=∂z∂xAi+∂z∂yAj .
Найдем его
gradzA=15i+310j=15;310.
2) Направляющие косинусы вектора a будут:a= 2i-3j
cosα=lxl=222+-32=213,
cosβ=lyl=-322+-32=-313.
Тогда
∂z∂l=∂z∂xcos∝+∂z∂ycosβ=> ∂z∂lA=15∙213+310∙-313=2513-91013=-51013=-52613.
Заданная функция в направлении вектора a убывает.
Ответ: 15i+310j=15;310; ∂z∂lA=-52613.