Даны четыре вектора в некотором базисе

Чтобы показать, что векторы a,b,c образуют базис, нужно чтобы определитель из их координат был отличен от нуля. Составим и вычислим данный определитель по правилу треугольников, получим:
∆=3-2-12431-5-2=3*4*-2+-2*3*1+-1*2*-5-1*4*-1--5*3*3--2*2*-2=-24-6+10+4+45-8=21
Так как данный определитель не равен нулю, делаем вывод, что данная тройка векторов линейно независима и представляет собой базис.
Найдём координаты вектора d в данном базисе векторов:
Вектор d в этом базисе будет иметь следующие координаты:
d=αa+βb+γc
Перепишем в координатной форме, получим:
6;11;-5=α3;2;1+β-2;4;-5+γ(-1;3;-2)
Получаем следующую систему линейных уравнений:
3α-2β-γ=62α+4β+3γ=11α-5β-2γ=-5
Решим данную систему методом Крамера, определитель исходной матрицы мы уже нашли ранее, он равен 21